Hallar las derivadas parciales de:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que precisa ser feito aqui! Temos a função
e queremos encontrar as derivadas parciais dela em relação a
e a
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de derivadas parciais e como derivar funções onde as variáveis aparecem tanto na base quanto no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos ver como a função muda quando a gente altera só o
, mantendo o
fixo.
Passo 3
Vamos começar derivando o primeiro termo,
, em relação a
. Quando temos uma variável no expoente, usamos uma dica matemática importante:
pode ser reescrito usando a função exponencial e o logaritmo natural assim:
Agora, para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
. Aqui,
.
Então:
Como
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
, a derivada de
em relação a
é:
Portanto:
Passo 4
Agora vamos derivar o segundo termo,
, em relação a
. Novamente, usamos a mesma ideia de reescrever a expressão:
Derivando
em relação a
usando a regra da cadeia:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então:
Assim:
Passo 5
Agora, juntando as derivadas dos dois termos, temos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos ver como a função muda quando alteramos só o
, mantendo o
fixo.
Passo 7
Primeiro, derivamos o termo
em relação a
. Usando a expressão reescrita:
A derivada de
em relação a
é:
Como
é uma constante em relação a
:
Então:
Passo 8
Agora, derivamos o termo
em relação a
. Aqui,
é tratado como uma constante. A derivada de
em relação a
é conhecida e é dada por:
Passo 9
Finalmente, somamos as derivadas dos dois termos para obter a derivada parcial de
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
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Expresse a função como a soma de uma série de potências usando frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.
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