Expresse a integral dupla, sobre a região indicada, como uma integral iterada e ache seu valor.
ãá

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos reescrever a integral dupla sobre a região , que é limitada pelas curvas , e , como uma integral iterada. Depois disso, vamos calcular o valor dessa integral. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral multivariável, especialmente a integração em regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região para visualizar melhor os limites de integração. As curvas que delimitam são:
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir as fronteiras da região.

Passo 3

Vamos encontrar onde e se intersectam:
Substituindo em :
Então, um ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde e se intersectam:
Substituindo em :
Outro ponto de interseção é .

Passo 5

Também precisamos encontrar onde e se intersectam:
Substituindo em :
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 6

Com esses pontos, podemos visualizar que a região é um trapézio com vértices em , e .

Passo 7

Para expressar a integral dupla como uma integral iterada, precisamos determinar os limites de e . Podemos optar por integrar primeiro em e depois em , ou vice-versa. Vamos escolher integrar primeiro em e depois em .

Passo 8

Observando a região , para cada valor de entre 0 e 4, os limites de vão de a .

Passo 9

Então, a integral iterada fica:

Passo 10

Agora, vamos calcular a integral interna em :
Fazendo a substituição , temos , então .
A integral vira:

Passo 11

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Passo 12

Calculando a integral de de 0 a 4:

Passo 13

Finalmente, multiplicamos os fatores:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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