Expresse a integral dupla, sobre a região
indicada, como uma integral iterada e ache seu valor.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos reescrever a integral dupla sobre a região
, que é limitada pelas curvas
,
e
, como uma integral iterada. Depois disso, vamos calcular o valor dessa integral. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral multivariável, especialmente a integração em regiões planas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região
para visualizar melhor os limites de integração. As curvas que delimitam
são:
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir as fronteiras da região.
Passo 3
Vamos encontrar onde
e
se intersectam:
Substituindo
em
:
Então, um ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde
e
se intersectam:
Substituindo
em
:
Outro ponto de interseção é
.
Passo 5
Também precisamos encontrar onde
e
se intersectam:
Substituindo
em
:
Portanto, o ponto de interseção é
.
Passo 6
Com esses pontos, podemos visualizar que a região
é um trapézio com vértices em
,
e
.
Passo 7
Para expressar a integral dupla como uma integral iterada, precisamos determinar os limites de
e
. Podemos optar por integrar primeiro em
e depois em
, ou vice-versa. Vamos escolher integrar primeiro em
e depois em
.
Passo 8
Observando a região
, para cada valor de
entre 0 e 4, os limites de
vão de
a
.
Passo 9
Então, a integral iterada fica:
Passo 10
Agora, vamos calcular a integral interna em
:
Fazendo a substituição
, temos
, então
.
A integral vira:
Passo 11
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 12
Calculando a integral de
de 0 a 4:
Passo 13
Finalmente, multiplicamos os fatores:
Resposta
O valor da integral dupla é
.