Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem crescendo em relação ao tempo , contado em anos aproximadamente, segundo a relação . Sendo a população inicial dessa região, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte do que era inicialmente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve como a população de uma região está mudando ao longo do tempo. A fórmula dada é:
Aqui, é a população após anos, e é a população inicial. Queremos descobrir em quantos anos a população vai ser reduzida para um quarto do que era inicialmente. Para isso, vamos precisar usar um pouquinho de matemática envolvendo exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “reduzida para um quarto do que era inicialmente”. Isso quer dizer que queremos que seja igual a . Então, vamos montar a equação:

Passo 3

Agora, podemos simplificar essa equação. Como está dos dois lados, podemos dividir ambos os lados por , desde que não seja zero (o que faz sentido, já que estamos falando de população):

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos usar logaritmos. Primeiro, vamos tirar o logaritmo de base 2 em ambos os lados para simplificar:
Sabemos que , então o lado direito fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Sabemos que , então:
Portanto, a equação fica:

Passo 6

Para encontrar , vamos isolar essa variável. Dividindo ambos os lados da equação por :

Resposta

Levando em conta a fórmula dada, serão necessários 8 anos para que a população seja reduzida à quarta parte do que era inicialmente.

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