Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem crescendo em relação ao tempo
, contado em anos aproximadamente, segundo a relação
. Sendo
a população inicial dessa região, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte do que era inicialmente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve como a população de uma região está mudando ao longo do tempo. A fórmula dada é:
Aqui,
é a população após
anos, e
é a população inicial. Queremos descobrir em quantos anos a população vai ser reduzida para um quarto do que era inicialmente. Para isso, vamos precisar usar um pouquinho de matemática envolvendo exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “reduzida para um quarto do que era inicialmente”. Isso quer dizer que queremos que
seja igual a
. Então, vamos montar a equação:
Passo 3
Agora, podemos simplificar essa equação. Como
está dos dois lados, podemos dividir ambos os lados por
, desde que
não seja zero (o que faz sentido, já que estamos falando de população):
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos usar logaritmos. Primeiro, vamos tirar o logaritmo de base 2 em ambos os lados para simplificar:
Sabemos que
, então o lado direito fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Sabemos que
, então:
Portanto, a equação fica:
Passo 6
Para encontrar
, vamos isolar essa variável. Dividindo ambos os lados da equação por
:
Resposta
Levando em conta a fórmula dada, serão necessários 8 anos para que a população seja reduzida à quarta parte do que era inicialmente.
Exercícios relacionados
Expresse a integral dupla, sobre a região
indicada, como uma integral iterada e ache seu valor.
Um estudante em férias observou que durante
dias:
i) Choveu 7 vezes, de manhã ou de tarde;
ii) Houve 5 manhãs sem chuva;
iii) Houve 6 tardes sem chuva.
Calcule , considerando que em um dia se chover pela manhã, não choverá à tarde e vice-versa.
i) Choveu 7 vezes, de manhã ou de tarde;
ii) Houve 5 manhãs sem chuva;
iii) Houve 6 tardes sem chuva.
Calcule
O domínio de uma função
é
e
e
. Qual é a imagem de
?
Certa empresa para implantar a fabricação de uma nova mercadoria, investiu em custos fixos R$ 10.000,00 e para cada bem produzido gasta 100,00. Pede-se a função custo e o total a ser investido para produzir 500 unidades.