Use coordenadas polares para calcular
integral-a^a integral0^raiza^2-x^2(x^2+y^2)^3 / 2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
integral-a^a integral0^raiza^2-x^2 (x^2 + y^2)^3/2 dy , dx
Aqui, estamos lidando com uma região circular (porque temos ), e a expressão sugere que coordenadas polares vão facilitar nossa vida. Vamos precisar entender como converter a integral para coordenadas polares e usar isso pra resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por x = r cos theta y = r sin theta , onde:
  • é a distância até a origem.
  • é o ângulo em relação ao eixo positivo .
As relações de conversão são:
E o elemento de área em coordenadas polares vira . Isso significa que nossa integral vai mudar de variáveis de e para e .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas polares. Olhando para a integral original:
integral-a^a integral0^raiza^2-x^2 dots dy , dx
Isso descreve a parte superior de um círculo de raio 0 <= r <= a -pi2 <= theta <= pi2 centrado na origem. Em coordenadas polares, varia de 0 a e varia de a para cobrir a parte superior do círculo.
Então, nossos novos limites são:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares usando as relações que vimos:
(x^2 + y^2)^3/2 = r^3
E o elemento de área integral-pi2^pi2 integral0^a r^3 cdot r , dr , dtheta = integral-pi2^pi2 integral0^a r^4 , dr , dtheta vira integral0^a r^4 , dr = [r^55]0^a = a^55 . Substituindo tudo, a integral fica:
integral-pi2^pi2 a^55 , dtheta = a^55 cdot [theta]-pi2^pi2 = a^55 cdot (pi2 - (-pi2)) = a^55 cdot pi
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a :
Agora, substituímos isso na integral externa:

Resposta

A integral vale .

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