Use coordenadas polares para calcular

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
Aqui, estamos lidando com uma região circular (porque temos ), e a expressão sugere que coordenadas polares vão facilitar nossa vida. Vamos precisar entender como converter a integral para coordenadas polares e usar isso pra resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por , onde:
  • é a distância até a origem.
  • é o ângulo em relação ao eixo positivo .
As relações de conversão são:
E o elemento de área em coordenadas polares vira . Isso significa que nossa integral vai mudar de variáveis de e para e .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas polares. Olhando para a integral original:
Isso descreve a parte superior de um círculo de raio centrado na origem. Em coordenadas polares, varia de 0 a e varia de a para cobrir a parte superior do círculo.
Então, nossos novos limites são:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares usando as relações que vimos:
E o elemento de área vira . Substituindo tudo, a integral fica:
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a :
Agora, substituímos isso na integral externa:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Considere a situação abaixo:
Calculando-a chegamos em:
Clique na sua resposta abaixo
  • -2
  • 2
  • 0
Expresse a integral dzdydx como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas e calcule a integral obtida.
Dica:
(b) Explique a diferença entre
Derivadas de logaritmos
Nos exercicios 11-40, determine as derivadas de em relação a , ou , conforme o caso.
24.