Use coordenadas polares para calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
Aqui, estamos lidando com uma região circular (porque temos
), e a expressão
sugere que coordenadas polares vão facilitar nossa vida. Vamos precisar entender como converter a integral para coordenadas polares e usar isso pra resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por
, onde:
-
é a distância até a origem. -
é o ângulo em relação ao eixo positivo .
As relações de conversão são:
E o elemento de área
em coordenadas polares vira
. Isso significa que nossa integral vai mudar de variáveis de
e
para
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas polares. Olhando para a integral original:
Isso descreve a parte superior de um círculo de raio
centrado na origem. Em coordenadas polares,
varia de 0 a
e
varia de
a
para cobrir a parte superior do círculo.
Então, nossos novos limites são:
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares usando as relações que vimos:
E o elemento de área
vira
. Substituindo tudo, a integral fica:
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, substituímos isso na integral externa:
Resposta
A integral vale
.