Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
e
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que expressar a integral tripla
como uma integral iterada em seis ordens diferentes. O sólido
é limitado pelas superfícies
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre como definir os limites de integração para diferentes ordens de integração (por exemplo,
,
, etc.).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
representa uma parábola elíptica aberta para baixo no eixo
, e
é o plano onde
é zero. Então,
é o sólido que está abaixo da parábola e acima do plano
.
Passo 3
Vamos determinar as projeções das fronteiras para facilitar a definição dos limites de integração. A interseção das superfícies
e
ocorre quando
, ou seja,
. Isso é uma elipse no plano
com semi-eixos de comprimento 2 em
e 1 em
.
Passo 4
Agora, vamos expressar a integral tripla nas seis ordens possíveis. Para cada ordem, precisamos definir os limites de integração para cada variável com base na descrição da região
.
1. Ordem
-
varia de até . - Para
, resolvemos a elipse , então varia de até . - Para
, considerando a elipse, varia de até .
A integral fica:
2. Ordem
-
varia de até . - Para
, dado um , varia de até . - Para
, varia de até .
A integral fica:
3. Ordem
-
varia de até . -
varia de até . -
varia de até .
A integral fica:
4. Ordem
-
varia de até . -
varia de até . -
varia de até .
A integral fica:
5. Ordem
-
varia de até . -
varia de até . -
varia de até .
A integral fica:
6. Ordem
-
varia de até . -
varia de até . -
varia de até .
A integral fica:
Resposta
As seis integrais iteradas para
são:
Exercícios relacionados
Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
.
Calcule a integral tripla.
, onde
Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
Utilize coordenadas cilíndricas. Calcule
, onde
é a região que está dentro do cilindro
e entre os planos
.