Expresse a integral integral triplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. y=4-x^2-4 z^2 e y=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que expressar a integral tripla integral triplaE f(x, y, z) , dV como uma integral iterada em seis ordens diferentes. O sólido E é limitado pelas superfícies y = 4 - x^2 - 4 z^2 e y = 0. Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre como definir os limites de integração para diferentes ordens de integração (por exemplo, dx,dy,dz, dy,dx,dz, etc.).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região E. A equação y = 4 - x^2 - 4 z^2 representa uma parábola elíptica aberta para baixo no eixo y, e y = 0 é o plano onde y é zero. Então, E é o sólido que está abaixo da parábola e acima do plano y = 0.

Passo 3

Vamos determinar as projeções das fronteiras para facilitar a definição dos limites de integração. A interseção das superfícies y = 4 - x^2 - 4 z^2 e y = 0 ocorre quando 4 - x^2 - 4 z^2 = 0, ou seja, x^2 + 4 z^2 = 4. Isso é uma elipse no plano y = 0 com semi-eixos de comprimento 2 em x e 1 em z.

Passo 4

Agora, vamos expressar a integral tripla nas seis ordens possíveis. Para cada ordem, precisamos definir os limites de integração para cada variável com base na descrição da região E.

1. Ordem dy,dx,dz

  • y varia de 0 até 4 - x^2 - 4 z^2.
  • Para x, resolvemos a elipse x^2 + 4 z^2 <= 4, então x varia de -2 até 2.
  • Para z, considerando a elipse, z varia de -1 até 1.
A integral fica:
integral-1^1 integral-2^2 integral0^4 - x^2 - 4 z^2 f(x, y, z) , dy , dx , dz

2. Ordem dy,dz,dx

  • y varia de 0 até 4 - x^2 - 4 z^2.
  • Para z, dado um x, z varia de -raiz(4 - x^2)/4 até raiz(4 - x^2)/4.
  • Para x, varia de -2 até 2.
A integral fica:
integral-2^2 integral-raiz(4 - x^2)/4^raiz(4 - x^2)/4 integral0^4 - x^2 - 4 z^2 f(x, y, z) , dy , dz , dx

3. Ordem dx,dy,dz

  • x varia de -raiz4 - y - 4 z^2 até raiz4 - y - 4 z^2.
  • y varia de 0 até 4 - 4 z^2.
  • z varia de -1 até 1.
A integral fica:
integral-1^1 integral0^4 - 4 z^2 integral-raiz4 - y - 4 z^2^raiz4 - y - 4 z^2 f(x, y, z) , dx , dy , dz

4. Ordem dx,dz,dy

  • x varia de -raiz4 - y - 4 z^2 até raiz4 - y - 4 z^2.
  • z varia de -raiz(4 - y)/4 até raiz(4 - y)/4.
  • y varia de 0 até 4.
A integral fica:
integral0^4 integral-raiz(4 - y)/4^raiz(4 - y)/4 integral-raiz4 - y - 4 z^2^raiz4 - y - 4 z^2 f(x, y, z) , dx , dz , dy

5. Ordem dz,dx,dy

  • z varia de -raiz(4 - y)/4 até raiz(4 - y)/4.
  • x varia de -raiz4 - y - 4 z^2 até raiz4 - y - 4 z^2.
  • y varia de 0 até 4.
A integral fica:
integral0^4 integral-raiz4 - y - 4 z^2^raiz4 - y - 4 z^2 integral-raiz(4 - y)/4^raiz(4 - y)/4 f(x, y, z) , dz , dx , dy

6. Ordem dz,dy,dx

  • z varia de -raiz1 - y/4 até raiz1 - y/4.
  • y varia de 0 até 4 - x^2.
  • x varia de -2 até 2.
A integral fica:
integral-2^2 integral0^4 - x^2 integral-raiz1 - y/4^raiz1 - y/4 f(x, y, z) , dz , dy , dx

Resposta

As seis integrais iteradas para integral triplaE f(x, y, z) , dV são:
  1. integral-1^1 integral-2^2 integral0^4 - x^2 - 4 z^2 f(x, y, z) , dy , dx , dz
  2. integral-2^2 integral-raiz(4 - x^2)/4^raiz(4 - x^2)/4 integral0^4 - x^2 - 4 z^2 f(x, y, z) , dy , dz , dx
  3. integral-1^1 integral0^4 - 4 z^2 integral-raiz4 - y - 4 z^2^raiz4 - y - 4 z^2 f(x, y, z) , dx , dy , dz
  4. integral0^4 integral-raiz(4 - y)/4^raiz(4 - y)/4 integral-raiz4 - y - 4 z^2^raiz4 - y - 4 z^2 f(x, y, z) , dx , dz , dy
  5. integral0^4 integral-raiz4 - y - 4 z^2^raiz4 - y - 4 z^2 integral-raiz(4 - y)/4^raiz(4 - y)/4 f(x, y, z) , dz , dx , dy
  6. integral-2^2 integral0^4 - x^2 integral-raiz1 - y/4^raiz1 - y/4 f(x, y, z) , dz , dy , dx

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