Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente transformar a integral tripla
em uma integral iterada de seis modos diferentes. Aqui, o sólido
é limitado por
,
e
. Vamos precisar entender como esses limites definem a região
e depois configurar as integrais de acordo com diferentes ordens de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites de cada variável. Temos três variáveis:
,
e
. As superfícies que delimitam nosso sólido são:
-
: Isso sugere que depende de . -
: Esse é o plano inferior do sólido. -
: Podemos rearranjar para , que será o limite superior para .
Passo 3
Vamos determinar os limites para cada variável:
- Para
: Está entre e . - Para
: Visto que e quando , temos , então varia de até . - Para
: Para encontrar os limites de , observamos que , então varia de a .
Passo 4
Agora, vamos configurar as integrais iteradas em diferentes ordens. Lembrando que a ordem das integrações pode ser
,
,
,
,
, ou
. Vamos fazer cada uma delas:
Passo 5
1. Ordem:
Aqui,
varia de
a
,
varia de
a
, e
de
a
.
Passo 6
2. Ordem:
Aqui,
varia de
a
,
de
a
, e
de
a
.
Passo 7
3. Ordem:
Aqui,
varia de
a
,
de
a
, e
de
a
.
Passo 8
4. Ordem:
Aqui,
varia de
a
,
de
a
, e
de
a
.
Passo 9
5. Ordem:
Aqui,
varia de
a
,
de
a
, e
de
a
.
Passo 10
6. Ordem:
Aqui,
varia de
a
,
de
a
, e
de
a
.
Resposta
As seis formas de expressar a integral tripla são:
Exercícios relacionados
Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
e
Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
.
Utilize coordenadas cilíndricas. Calcule
, onde
é a região que está dentro do cilindro
e entre os planos
.
Utilize coordenadas cilíndricas. Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro
como da esfera
.