Expresse a integral integral triplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. y=x^2, z=0, y+2 z=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente transformar a integral tripla integral triplaE f(x, y, z) dV em uma integral iterada de seis modos diferentes. Aqui, o sólido E é limitado por y = x^2, z = 0 e y + 2z = 4. Vamos precisar entender como esses limites definem a região E e depois configurar as integrais de acordo com diferentes ordens de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites de cada variável. Temos três variáveis: x, y e z. As superfícies que delimitam nosso sólido são:
  1. y = x^2: Isso sugere que y depende de x.
  2. z = 0: Esse é o plano inferior do sólido.
  3. y + 2z = 4: Podemos rearranjar para z = 4 - y2, que será o limite superior para z.

Passo 3

Vamos determinar os limites para cada variável:
  • Para z: Está entre 0 e 4 - y2.
  • Para y: Visto que y = x^2 e quando z = 0, temos y = 4, então y varia de x^2 até 4.
  • Para x: Para encontrar os limites de x, observamos que y = x^2 <= 4, então x varia de -2 a 2.

Passo 4

Agora, vamos configurar as integrais iteradas em diferentes ordens. Lembrando que a ordem das integrações pode ser dx,dy,dz, dx,dz,dy, dy,dx,dz, dy,dz,dx, dz,dx,dy, ou dz,dy,dx. Vamos fazer cada uma delas:

Passo 5

1. Ordem: dx,dy,dz
Aqui, x varia de - raizy a raizy, y varia de 0 a 4, e z de 0 a 4 - y2.
integral0^4 integral-raizy^raizy integral0^4 - y2 f(x, y, z) , dz , dx , dy

Passo 6

2. Ordem: dx,dz,dy
Aqui, x varia de -2 a 2, z de 0 a 4 - y2, e y de x^2 a 4.
integral-2^2 integral0^4 - y2 integralx^2^4 f(x, y, z) , dy , dz , dx

Passo 7

3. Ordem: dy,dx,dz
Aqui, y varia de x^2 a 4, x de -2 a 2, e z de 0 a 4 - y2.
integral-2^2 integralx^2^4 integral0^4 - y2 f(x, y, z) , dz , dy , dx

Passo 8

4. Ordem: dy,dz,dx
Aqui, y varia de 0 a 4, z de 0 a 4 - y2, e x de -raizy a raizy.
integral0^4 integral0^4 - y2 integral-raizy^raizy f(x, y, z) , dx , dz , dy

Passo 9

5. Ordem: dz,dx,dy
Aqui, z varia de 0 a 2, x de -raizy a raizy, e y de 0 a 4 - 2z.
integral0^2 integral-raiz4 - 2z^raiz4 - 2z integralx^2^4 - 2z f(x, y, z) , dy , dx , dz

Passo 10

6. Ordem: dz,dy,dx
Aqui, z varia de 0 a 2, y de x^2 a 4 - 2z, e x de -2 a 2.
integral-2^2 integralx^2^4 - 2z integral0^4 - y2 f(x, y, z) , dz , dy , dx

Resposta

As seis formas de expressar a integral tripla são:
  1. integral0^4 integral-raizy^raizy integral0^4 - y2 f(x, y, z) , dz , dx , dy
  2. integral-2^2 integral0^4 - y2 integralx^2^4 f(x, y, z) , dy , dz , dx
  3. integral-2^2 integralx^2^4 integral0^4 - y2 f(x, y, z) , dz , dy , dx
  4. integral0^4 integral0^4 - y2 integral-raizy^raizy f(x, y, z) , dx , dz , dy
  5. integral0^2 integral-raiz4 - 2z^raiz4 - 2z integralx^2^4 - 2z f(x, y, z) , dy , dx , dz
  6. integral-2^2 integralx^2^4 - 2z integral0^4 - y2 f(x, y, z) , dz , dy , dx

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Expresse a integral integral triplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. y=4-x^2-4 z^2 e y=0
Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2 x + y + z = 4.
Utilize coordenadas cilíndricas. Calcule integral triplaE raizx^2+y^2 d V, onde E é a região que está dentro do cilindro x^2+y^2=16 e entre os planos z=-5 e z=4.
Utilize coordenadas cilíndricas. Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro x^2 + y^2 = 1 como da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4.