Utilize coordenadas cilíndricas. Calcule integral triplaE raizx^2+y^2 d V, onde E é a região que está dentro do cilindro x^2+y^2=16 e entre os planos z=-5 e z=4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o triplo integral de raizx^2+y^2 sobre a região E, que está dentro do cilindro x^2+y^2=16 e entre os planos z=-5 e z=4. Vamos usar coordenadas cilíndricas para resolver isso, pois elas facilitam o trabalho com cilindros.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, as coordenadas (x, y, z) são representadas como (r, theta, z), onde:
  • r = raizx^2 + y^2 é a distância do ponto até o eixo z,
  • theta é o ângulo em relação ao eixo x,
  • z permanece o mesmo.
A função que vamos integrar, raizx^2 + y^2, simplifica para r nessas coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • Para r: Dentro do cilindro x^2+y^2=16, temos r = raiz16 = 4. Então, r varia de 0 a 4.
  • Para theta: Como o cilindro é completo em torno do eixo z, theta varia de 0 a 2pi radianos.
  • Para z: Está entre os planos z=-5 e z=4, então z varia de -5 a 4.

Passo 4

O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por dV = r , dr , dtheta , dz. Portanto, o triplo integral fica:
integral triplaE raizx^2+y^2 , dV = integralz=-5^4 integraltheta=0^2pi integralr=0^4 r cdot r , dr , dtheta , dz = integral-5^4 integral0^2pi integral0^4 r^2 , dr , dtheta , dz

Passo 5

Primeiro, vamos integrar em relação a r:
integral0^4 r^2 , dr = [ r^33 ]0^4 = 643

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 643 , dtheta = 643 cdot 2pi = 128pi3

Passo 7

Por fim, integramos em relação a z:
integral-5^4 128pi3 , dz = 128pi3 cdot (4 - (-5)) = 128pi3 cdot 9 = 384pi

Resposta

O valor do triplo integral é 384pi.

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