Utilize coordenadas cilíndricas. Calcule
, onde
é a região que está dentro do cilindro
e entre os planos
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o triplo integral de
sobre a região
, que está dentro do cilindro
e entre os planos
e
. Vamos usar coordenadas cilíndricas para resolver isso, pois elas facilitam o trabalho com cilindros.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, as coordenadas
são representadas como
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
permanece o mesmo.
A função que vamos integrar,
, simplifica para
nessas coordenadas.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração:
- Para
: Dentro do cilindro , temos . Então, varia de a . - Para
: Como o cilindro é completo em torno do eixo , varia de a radianos. - Para
: Está entre os planos e , então varia de a .
Passo 4
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por
. Portanto, o triplo integral fica:
Passo 5
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O valor do triplo integral é
.
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Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
e
Utilize coordenadas cilíndricas. Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro
como da esfera
.
Utilize coordenadas esféricas. Calcule
, onde
é a bola com centro na origem e raio 5 .