Utilize coordenadas cilíndricas. Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro x^2 + y^2 = 1 como da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como aqui com o cilindro e a esfera. Precisamos encontrar o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro quanto da esfera . Para isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então, o cilindro fica .
A esfera fica , então .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração:
  • varia de 0 a 1 (já que o raio do cilindro é 1).
  • varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.
  • varia de a (limites da esfera).

Passo 4

O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Então, a integral tripla para o volume fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em . Fazendo a substituição , temos , ou seja, .
A integral em fica:

Passo 7

Finalmente, vamos integrar em :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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