Utilize coordenadas cilíndricas. Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro como da esfera .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como aqui com o cilindro e a esfera. Precisamos encontrar o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro quanto da esfera . Para isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então, o cilindro fica .
A esfera fica , então .
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração:
varia de 0 a 1 (já que o raio do cilindro é 1).
varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.
varia de a (limites da esfera).
Passo 4
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Então, a integral tripla para o volume fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em . Fazendo a substituição , temos , ou seja, .