Mostre que os vetores
e
são perpendiculares.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos três vetores:
,
e
. Queremos mostrar que o vetor
é perpendicular ao vetor
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o produto escalar (também conhecido como produto ponto) entre vetores e a propriedade de que dois vetores são perpendiculares se o seu produto escalar for zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são perpendiculares. Dois vetores
e
são perpendiculares se o produto escalar entre eles for igual a zero, ou seja:
Então, para provar que
é perpendicular a
, vamos calcular o produto escalar desses dois vetores e mostrar que ele é igual a zero.
Passo 3
Vamos chamar o vetor
de
. Assim, queremos calcular
.
Primeiro, aplicamos a definição de
:
Agora, calculamos o produto escalar de
com
:
Passo 4
Vamos distribuir o produto escalar:
Note que as duas expressões são iguais e possuem sinais opostos, ou seja:
Resposta
Portanto,
, o que significa que os vetores
e
são perpendiculares.