Mostre que os vetores (b . c) a - (a . c) b e c são perpendiculares.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos três vetores: , e . Queremos mostrar que o vetor é perpendicular ao vetor . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o produto escalar (também conhecido como produto ponto) entre vetores e a propriedade de que dois vetores são perpendiculares se o seu produto escalar for zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são perpendiculares. Dois vetores e são perpendiculares se o produto escalar entre eles for igual a zero, ou seja:
Então, para provar que é perpendicular a , vamos calcular o produto escalar desses dois vetores e mostrar que ele é igual a zero.

Passo 3

Vamos chamar o vetor de . Assim, queremos calcular .
Primeiro, aplicamos a definição de :
Agora, calculamos o produto escalar de com :

Passo 4

Vamos distribuir o produto escalar:
Note que as duas expressões são iguais e possuem sinais opostos, ou seja:

Resposta

Portanto, , o que significa que os vetores e são perpendiculares.

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