Mostre que a solução de y^prime prime+a^2 y=F(x), com y(0)=y^prime(0)=0 e a neq 0, é
y(x)=1a integral0^x F(u) sin [a(x-u)] d u

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial com as condições iniciais e . Isso está na área de equações diferenciais ordinárias (EDOs). Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs lineares de segunda ordem com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: yh(x) = C1 cos(a x) + C2 sin(a x) . A solução geral dessa equação homogênea é uma combinação de funções seno e cosseno:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Para isso, usamos o método de variação de parâmetros. A ideia é assumir que as constantes e não são constantes, mas sim funções de , ou seja, e .

Passo 4

Calculamos as derivadas yp'(x) = C1'(x) cos(a x) - a C1(x) sin(a x) + C2'(x) sin(a x) + a C2(x) cos(a x) e yp''(x) = C1''(x) cos(a x) - 2 a C1'(x) sin(a x) - a^2 C1(x) cos(a x) + C2''(x) sin(a x) + 2 a C2'(x) cos(a x) - a^2 C2(x) sin(a x) da nossa solução particular :

Passo 5

Substituímos yp'' + a^2 yp = F(x) e suas derivadas na equação original:
C1'(x) cos(a x) + C2'(x) sin(a x) = 0
Após simplificar e igualar os termos, obtemos um sistema de equações para - C1'(x) sin(a x) + C2'(x) cos(a x) = F(x)a e . Para simplificar, impomos que:

Passo 6

Resolvendo esse sistema, encontramos:
C1'(x) = -F(x)a sin(a x)
C2'(x) = F(x)a cos(a x)

Passo 7

Integrando C1(x) = -1a integral F(u) sin(a u) du + C1 e C2(x) = 1a integral F(u) cos(a u) du + C2 em relação a :
Como estamos buscando uma solução particular, podemos considerar e iguais a zero.

Passo 8

Substituímos yp(x) = -1a ( integral F(u) sin(a u) du ) cos(a x) + 1a ( integral F(u) cos(a u) du ) sin(a x) e na expressão de :

Passo 9

Aplicando a integração por partes e reorganizando os termos, chegamos à expressão:
y(x) = 1a integral0^x F(u) sin[a(x - u)] du

Resposta

A solução da equação diferencial dada é
y(x) = 1a integral0^x F(u) sin [a(x - u)] du

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