Mostre que a solução de
,
e
, é
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Isso está na área de equações diferenciais ordinárias (EDOs). Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs lineares de segunda ordem com condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. A solução geral dessa equação homogênea é uma combinação de funções seno e cosseno:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Para isso, usamos o método de variação de parâmetros. A ideia é assumir que as constantes
e
não são constantes, mas sim funções de
, ou seja,
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas
e
da nossa solução particular
:
Passo 5
Substituímos
e suas derivadas na equação original:
Após simplificar e igualar os termos, obtemos um sistema de equações para
e
. Para simplificar, impomos que:
Passo 6
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Passo 7
Integrando
e
em relação a
:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos considerar
e
iguais a zero.
Passo 8
Substituímos
e
na expressão de
:
Passo 9
Aplicando a integração por partes e reorganizando os termos, chegamos à expressão:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é
Exercícios relacionados
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Sejam
e
funções diferenciáveis no intervalo
. Mostrar que para todo
,
Expresse