Mostre que a solução de , e , é

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial com as condições iniciais e . Isso está na área de equações diferenciais ordinárias (EDOs). Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs lineares de segunda ordem com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . A solução geral dessa equação homogênea é uma combinação de funções seno e cosseno:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Para isso, usamos o método de variação de parâmetros. A ideia é assumir que as constantes e não são constantes, mas sim funções de , ou seja, e .

Passo 4

Calculamos as derivadas e da nossa solução particular :

Passo 5

Substituímos e suas derivadas na equação original:
Após simplificar e igualar os termos, obtemos um sistema de equações para e . Para simplificar, impomos que:

Passo 6

Resolvendo esse sistema, encontramos:

Passo 7

Integrando e em relação a :
Como estamos buscando uma solução particular, podemos considerar e iguais a zero.

Passo 8

Substituímos e na expressão de :

Passo 9

Aplicando a integração por partes e reorganizando os termos, chegamos à expressão:

Resposta

A solução da equação diferencial dada é

Exercícios relacionados

Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Sejam e funções diferenciáveis no intervalo . Mostrar que para todo ,
Expresse