Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite envolvendo uma soma, e a gente quer transformar isso numa integral definida no intervalo de a . A matéria que tá rolando aqui é sobre somatórias de Riemann e integrais definidas. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como uma soma pode se aproximar de uma integral quando o número de parcelas cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma de Riemann. Imagine que você quer calcular a área sob uma curva. Uma maneira de fazer isso é dividir essa área em várias retinhas (ou retângulos), calcular a área de cada uma e somar tudo. Quando o número de retângulos aumenta e a largura deles diminui, essa soma se aproxima da integral da função.

Passo 3

Agora, vamos identificar os elementos da nossa soma que correspondem a uma soma de Riemann. Temos:
Aqui, representa a largura de cada subintervalo no nosso intervalo , e é a altura da retinha em cada ponto .

Passo 4

Para transformar isso numa integral, precisamos identificar a função que está sendo integrada. No caso, a função é:
E o intervalo de integração é de a . Então, quando tende ao infinito, a soma se aproxima da integral dessa função nesse intervalo.

Passo 5

Finalmente, juntando tudo isso, a integral definida que corresponde ao nosso limite é:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a soma de Riemann para , com quatro subintervalos, tomando os pontos amostrais como as extremidades direitas. Explique, com a ajuda de um diagrama, o que representa a soma de Riemann.
Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado.
Determine os intervalos onde é crescente.