Expresse o número racional como uma razão de inteiros:
(b) 0,021(34) = 0,021343434343...

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o número decimal , que significa que o “34” se repete pra sempre: . Nosso objetivo é transformar esse número em uma fração, ou seja, uma razão entre dois números inteiros. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como lidar com decimais que têm partes que se repetem.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o número que queremos converter de . Ou seja:
Isso facilita porque agora podemos manipular para eliminar a parte que se repete.

Passo 3

Observamos que o “34” é a parte que se repete, e ela começa depois das duas primeiras casas decimais (após o “02”). Para eliminar a repetição, vamos multiplicar por 1000. Por quê? Porque assim movemos a vírgula três casas para a direita, alinhando as partes que se repetem:
Agora temos:

Passo 4

Agora, vamos subtrair a equação de da equação de :
A subtração elimina a parte que se repete, deixando uma equação mais simples para resolver.

Passo 5

Agora, é só resolver para :
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por 1000 para eliminar a vírgula:
Agora, podemos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador pelo maior divisor comum, que é 2:
Essa é a fração simplificada que representa o número decimal original.

Resposta

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