Seja
. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
.
e
Passo 1
Então, temos um conjunto
. Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear que definem o que é um subespaço vetorial. Precisamos checar três condições:
- Contém o vetor nulo.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor nulo está em
. O vetor nulo em
é
.
Para estar em
, ele precisa satisfazer as condições
e
.
Substituindo:
-
→ Ok. -
→ Também Ok.
Portanto, o vetor nulo está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
e os somarmos, o resultado também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores em
:
Somando-os:
Observamos que:
- A segunda coordenada é
. - A terceira coordenada é
vezes a primeira, ou seja, .
Assim,
também satisfaz as condições para estar em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos checar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se multiplicarmos qualquer vetor de
por um número real qualquer, o resultado também deve estar em
.
Tomemos um vetor em
:
E um escalar
. Multiplicando:
Aqui, vemos que:
- A segunda coordenada continua sendo
. - A terceira coordenada é
vezes a primeira, ou seja, .
Portanto,
também satisfaz as condições para pertencer a
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
, pois satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor nulo, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.