Seja V=R^3. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de V.
S=(x, y, z): y=0 e z=3 x

Passo 1

Então, temos um conjunto . Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear que definem o que é um subespaço vetorial. Precisamos checar três condições:
  1. Contém o vetor nulo.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor nulo está em . O vetor nulo em é .
Para estar em , ele precisa satisfazer as condições e .
Substituindo:
  • → Ok.
  • → Também Ok.
Portanto, o vetor nulo está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se u + v = (x1 + x2, 0 + 0, 3x1 + 3x2) = (x1 + x2, 0, 3(x1 + x2)) é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em e os somarmos, o resultado também deve estar em .
Vamos considerar dois vetores em :
Somando-os:
Observamos que:
  • A segunda coordenada é .
  • A terceira coordenada é vezes a primeira, ou seja, .
Assim, também satisfaz as condições para estar em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos checar se u = (x, 0, 3x) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se multiplicarmos qualquer vetor de c cdot u = (c x, c cdot 0, c cdot 3x) = (c x, 0, 3(c x)) por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .
Tomemos um vetor em :
E um escalar . Multiplicando:
Aqui, vemos que:
  • A segunda coordenada continua sendo .
  • A terceira coordenada é vezes a primeira, ou seja, .
Portanto, também satisfaz as condições para pertencer a . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de , pois satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor nulo, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados