Verifique se a aplicação
dada por
é injetora, sobrejetora e bijetora, além de se é uma transformação linear.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma aplicação
que pega qualquer matriz
com números reais e retorna o seu determinante. A gente precisa descobrir se essa aplicação é injetora (ou seja, se diferentes matrizes sempre dão diferentes determinantes), sobrejetora (se todo número real pode ser obtido como determinante de alguma matriz), e bijetora (se for tanto injetora quanto sobrejetora). Além disso, precisamos ver se essa aplicação é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar lembrar das definições de injetividade, sobrejetividade, bijetividade e o que caracteriza uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é injetora. Uma aplicação é injetora se, quando
, isso implica que
. No caso da nossa aplicação,
. Porém, diferentes matrizes
podem ter o mesmo determinante. Por exemplo, as matrizes
ambas têm determinante igual a 1, mas são matrizes diferentes. Portanto,
não é injetora.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é sobrejetora. Uma aplicação é sobrejetora se, para todo número real
, existe uma matriz
tal que
. De fato, para qualquer
, podemos construir uma matriz diagonal simples:
O determinante dessa matriz é
. Assim, para qualquer real
, existe uma matriz
com
. Portanto,
é sobrejetora.
Passo 4
Com base nos passos anteriores, vimos que
não é injetora mas é sobrejetora. Isso significa que
não é bijetora, já que para ser bijetora precisa ser simultaneamente injetora e sobrejetora.
Passo 5
Por último, vamos verificar se
é uma transformação linear. Uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades:
-
-
para todo escalar
No caso do determinante, temos:
Por exemplo, se
então
,
enquanto .
enquanto
Como essa igualdade não se mantém,
não é uma transformação linear.
Resposta
A aplicação
não é injetora, é sobrejetora, não é bijetora e não é uma transformação linear.