Verifique se a aplicação F: M2 times 2(R) R dada por F(A)=det(A) é injetora, sobrejetora e bijetora, além de se é uma transformação linear.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma aplicação que pega qualquer matriz com números reais e retorna o seu determinante. A gente precisa descobrir se essa aplicação é injetora (ou seja, se diferentes matrizes sempre dão diferentes determinantes), sobrejetora (se todo número real pode ser obtido como determinante de alguma matriz), e bijetora (se for tanto injetora quanto sobrejetora). Além disso, precisamos ver se essa aplicação é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar lembrar das definições de injetividade, sobrejetividade, bijetividade e o que caracteriza uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se A = 1 & 0 0 & 1 e B = 2 & 0 0 & 12 é injetora. Uma aplicação é injetora se, quando , isso implica que . No caso da nossa aplicação, . Porém, diferentes matrizes podem ter o mesmo determinante. Por exemplo, as matrizes
ambas têm determinante igual a 1, mas são matrizes diferentes. Portanto, não é injetora.

Passo 3

Agora, vamos ver se A = y & 0 0 & 1 é sobrejetora. Uma aplicação é sobrejetora se, para todo número real , existe uma matriz tal que . De fato, para qualquer , podemos construir uma matriz diagonal simples:
O determinante dessa matriz é . Assim, para qualquer real , existe uma matriz com . Portanto, é sobrejetora.

Passo 4

Com base nos passos anteriores, vimos que não é injetora mas é sobrejetora. Isso significa que não é bijetora, já que para ser bijetora precisa ser simultaneamente injetora e sobrejetora.

Passo 5

Por último, vamos verificar se det(A + B) neq det(A) + det(B) é uma transformação linear. Uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades:
  1. A = 1 & 0 0 & 1 e B = 1 & 0 0 & 1 ,
  2. 2 & 0 0 & 2 para todo escalar
No caso do determinante, temos:
Por exemplo, se
então ,
enquanto .
Como essa igualdade não se mantém, não é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação não é injetora, é sobrejetora, não é bijetora e não é uma transformação linear.

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