Verifique que as séries abaixo convergem absolutamente nos intervalos dados:
a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série converge absolutamente no intervalo , onde é qualquer número positivo. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e, mais especificamente, à convergência absoluta. Vamos precisar entender o que significa uma série convergir absolutamente e aplicar um teste de convergência adequado para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Isso é importante porque se uma série converge absolutamente, ela também converge normalmente.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a série dada: . Queremos verificar a convergência absoluta, então vamos considerar a série dos valores absolutos:
Isso simplifica a nossa análise, já que agora estamos trabalhando com termos positivos.
Passo 4
Para verificar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos envolvendo fatoriais. O Teste da Razão diz que, para a série sum ak, se:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se L < 1, a série converge absolutamente.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão à nossa série:
ak = |x|^kk!
Vamos calcular:
ak+1ak = |x|^k+1(k+1)! cdot k!|x|^k = |x|k+1
Agora, calculamos o limite quando k tende ao infinito:
L = limk to infty |x|k+1 = 0
Passo 6
Como L = 0 e 0 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente para todo valor de x. Isso significa que, independentemente de qual seja o r > 0, no intervalo [-r ; r], a série sumk=1^infty x^kk! converge absolutamente.
Resposta
A série sumk=1^infty x^kk! converge absolutamente no intervalo [-r ; r] para todo r > 0.