Verifique que as séries abaixo convergem absolutamente nos intervalos dados:
a) sumk=1^infty x^kk! em[-r ; r], forall r>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série sumk=1^infty x^kk! converge absolutamente no intervalo [-r ; r], onde r é qualquer número positivo. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e, mais especificamente, à convergência absoluta. Vamos precisar entender o que significa uma série convergir absolutamente e aplicar um teste de convergência adequado para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convergência absoluta. Uma série sum ak converge absolutamente se a série dos valores absolutos sum |ak| também converge. Isso é importante porque se uma série converge absolutamente, ela também converge normalmente.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a série dada: sumk=1^infty x^kk!. Queremos verificar a convergência absoluta, então vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumk=1^infty | x^kk! | = sumk=1^infty |x|^kk!
Isso simplifica a nossa análise, já que agora estamos trabalhando com termos positivos.

Passo 4

Para verificar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos envolvendo fatoriais. O Teste da Razão diz que, para a série sum ak, se:
L = limk to infty | ak+1ak |
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão à nossa série:
ak = |x|^kk!
Vamos calcular:
ak+1ak = |x|^k+1(k+1)! cdot k!|x|^k = |x|k+1
Agora, calculamos o limite quando k tende ao infinito:
L = limk to infty |x|k+1 = 0

Passo 6

Como L = 0 e 0 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente para todo valor de x. Isso significa que, independentemente de qual seja o r > 0, no intervalo [-r ; r], a série sumk=1^infty x^kk! converge absolutamente.

Resposta

A série sumk=1^infty x^kk! converge absolutamente no intervalo [-r ; r] para todo r > 0.

Exercícios relacionados

Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
b) S = 1 + 2/3 + 3/9 + 4/27 + 5/81 + ....
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
q) f(x) = arctan(x^2)
Suponha que a séric sum(-1)^n an 4^n convirja e que sum an 6^n divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
d) sum(-1)^n an 9^n
Suponha que a séric sum(-1)^n an 4^n convirja e que sum an 6^n divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
c) sum(-1)^n an 3^n