Verifique que as séries abaixo convergem absolutamente nos intervalos dados:
a) sumk=1^infty x^kk! em[-r ; r], forall r>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série sumk=1^infty x^kk! converge absolutamente no intervalo [-r ; r], onde r é qualquer número positivo. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e, mais especificamente, à convergência absoluta. Vamos precisar entender o que significa uma série convergir absolutamente e aplicar um teste de convergência adequado para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convergência absoluta. Uma série sum ak converge absolutamente se a série dos valores absolutos sum |ak| também converge. Isso é importante porque se uma série converge absolutamente, ela também converge normalmente.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a série dada: sumk=1^infty x^kk!. Queremos verificar a convergência absoluta, então vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumk=1^infty | x^kk! | = sumk=1^infty |x|^kk!
Isso simplifica a nossa análise, já que agora estamos trabalhando com termos positivos.

Passo 4

Para verificar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos envolvendo fatoriais. O Teste da Razão diz que, para a série sum ak, se:
L = limk to infty | ak+1ak |
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão à nossa série:
ak = |x|^kk!
Vamos calcular:
ak+1ak = |x|^k+1(k+1)! cdot k!|x|^k = |x|k+1
Agora, calculamos o limite quando k tende ao infinito:
L = limk to infty |x|k+1 = 0

Passo 6

Como L = 0 e 0 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente para todo valor de x. Isso significa que, independentemente de qual seja o r > 0, no intervalo [-r ; r], a série sumk=1^infty x^kk! converge absolutamente.

Resposta

A série sumk=1^infty x^kk! converge absolutamente no intervalo [-r ; r] para todo r > 0.

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