Suponha que a séric
convirja e que
divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a série alternada
converge, e que a série
diverge. Nosso objetivo é descobrir se a série
converge ou diverge. Vamos precisar entender o comportamento das séries alternadas e usar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série alternada tem termos que mudam de sinal a cada termo, como
. Para analisar a convergência de séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos
diminuem monotonamente para zero, a série
converge.
Passo 3
Sabemos que
converge, então, pelo Teste da Série Alternada, os termos
devem estar diminuindo e tendem a zero quando
vai para infinito.
Passo 4
Agora, consideramos a série
. Podemos reescrevê-la como
, ou seja,
.
Passo 5
Sabemos que
diverge. Isso sugere que
não decresce rápido o suficiente para compensar o crescimento de
. Comparando com nossa nova série, temos um fator adicional de
, que é maior que 1, pois
.
Passo 6
Como a série
já diverge e estamos multiplicando os termos por um fator que cresce exponencialmente
, a série
não consegue ter seus termos tendendo a zero. Portanto, ela também diverge.
Resposta
A série
diverge.