Suponha que a séric sum(-1)^n an 4^n convirja e que sum an 6^n divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
d) sum(-1)^n an 9^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a série alternada converge, e que a série diverge. Nosso objetivo é descobrir se a série converge ou diverge. Vamos precisar entender o comportamento das séries alternadas e usar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série alternada tem termos que mudam de sinal a cada termo, como . Para analisar a convergência de séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos diminuem monotonamente para zero, a série converge.

Passo 3

Sabemos que converge, então, pelo Teste da Série Alternada, os termos devem estar diminuindo e tendem a zero quando vai para infinito.

Passo 4

Agora, consideramos a série . Podemos reescrevê-la como , ou seja, .

Passo 5

Sabemos que diverge. Isso sugere que não decresce rápido o suficiente para compensar o crescimento de . Comparando com nossa nova série, temos um fator adicional de , que é maior que 1, pois .

Passo 6

Como a série já diverge e estamos multiplicando os termos por um fator que cresce exponencialmente , a série não consegue ter seus termos tendendo a zero. Portanto, ela também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Verifique que as séries abaixo convergem absolutamente nos intervalos dados:
a) sumk=1^infty x^kk! em[-r ; r], forall r>0.
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
b) S = 1 + 2/3 + 3/9 + 4/27 + 5/81 + ....
Suponha que a séric sum(-1)^n an 4^n convirja e que sum an 6^n divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
c) sum(-1)^n an 3^n
Nos Problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a soluçăo geral é definida. $ x y^{\prime}+(1+x) y=e^{-x} \operatorname{sen} 2 x $