Suponha que a séric
convirja e que
divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a série alternada
converge, e que a série
diverge. Nosso objetivo é descobrir se a série
converge ou diverge. Vamos precisar entender o comportamento das séries alternadas e usar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série alternada tem termos que mudam de sinal a cada termo, como
. Para analisar a convergência de séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos
diminuem monotonamente para zero, a série
converge.
Passo 3
Sabemos que
converge, então, pelo Teste da Série Alternada, os termos
devem estar diminuindo e tendem a zero quando
vai para infinito.
Passo 4
Agora, consideramos a série
. Podemos reescrevê-la como
, ou seja,
.
Passo 5
Sabemos que
diverge. Isso sugere que
não decresce rápido o suficiente para compensar o crescimento de
. Comparando com nossa nova série, temos um fator adicional de
, que é maior que 1, pois
.
Passo 6
Como a série
já diverge e estamos multiplicando os termos por um fator que cresce exponencialmente
, a série
não consegue ter seus termos tendendo a zero. Portanto, ela também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Verifique que as séries abaixo convergem absolutamente nos intervalos dados:
a) .
a)
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
b) .
b)
Suponha que a séric
convirja e que
divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
c)
c)
Nos Problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a soluçăo geral é definida. $ x y^{\prime}+(1+x) y=e^{-x} \operatorname{sen} 2 x $