Suponha que a séric sum(-1)^n an 4^n convirja e que sum an 6^n divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
d) sum(-1)^n an 9^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a série alternada converge, e que a série diverge. Nosso objetivo é descobrir se a série converge ou diverge. Vamos precisar entender o comportamento das séries alternadas e usar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série alternada tem termos que mudam de sinal a cada termo, como . Para analisar a convergência de séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos diminuem monotonamente para zero, a série converge.

Passo 3

Sabemos que converge, então, pelo Teste da Série Alternada, os termos devem estar diminuindo e tendem a zero quando vai para infinito.

Passo 4

Agora, consideramos a série . Podemos reescrevê-la como , ou seja, .

Passo 5

Sabemos que diverge. Isso sugere que não decresce rápido o suficiente para compensar o crescimento de . Comparando com nossa nova série, temos um fator adicional de , que é maior que 1, pois .

Passo 6

Como a série já diverge e estamos multiplicando os termos por um fator que cresce exponencialmente , a série não consegue ter seus termos tendendo a zero. Portanto, ela também diverge.

Resposta

A série diverge.

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