Reduza à forma $a+b i$ cada uma das seguintes expressões: $(1+i)^{3}$.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos essa expressão $(1 + i)^3$ e colocar na forma $a + b i$, que é a forma padrão dos números complexos. Para isso, vamos precisar entender como elevar um número complexo a uma potência. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $i$ é a unidade imaginária, onde $i^2 = -1$. Isso é fundamental porque vamos precisar simplificar as potências de $i$ durante o cálculo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula do binômio de Newton para expandir $(1 + i)^3$. A fórmula geral é:
$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$$
No nosso caso, $a = 1$, $b = i$ e $n = 3$. Então, expandindo:
$$(1 + i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 + i^3$$
Passo 4
Vamos calcular cada termo da expansão:
1. $1^3 = 1$
2. $3 \cdot 1^2 \cdot i = 3i$
3. $3 \cdot 1 \cdot i^2 = 3 \cdot (-1) = -3$ (já que $i^2 = -1$)
4. $i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$
Passo 5
Agora, somamos todos os termos calculados:
$$1 + 3i - 3 - i$$
Vamos juntar os termos semelhantes:
$$ (1 - 3) + (3i - i) = -2 + 2i $$
Resposta
Portanto, a expressão reduzida à forma $a + b i$ é $-2 + 2i$.