Reduza à forma $a+b i$ cada uma das seguintes expressões: $(1+i)^{3}$.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos essa expressão $(1 + i)^3$ e colocar na forma $a + b i$, que é a forma padrão dos números complexos. Para isso, vamos precisar entender como elevar um número complexo a uma potência. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $i$ é a unidade imaginária, onde $i^2 = -1$. Isso é fundamental porque vamos precisar simplificar as potências de $i$ durante o cálculo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do binômio de Newton para expandir $(1 + i)^3$. A fórmula geral é: $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$$ No nosso caso, $a = 1$, $b = i$ e $n = 3$. Então, expandindo: $$(1 + i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 + i^3$$

Passo 4

Vamos calcular cada termo da expansão: 1. $1^3 = 1$ 2. $3 \cdot 1^2 \cdot i = 3i$ 3. $3 \cdot 1 \cdot i^2 = 3 \cdot (-1) = -3$ (já que $i^2 = -1$) 4. $i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$

Passo 5

Agora, somamos todos os termos calculados: $$1 + 3i - 3 - i$$ Vamos juntar os termos semelhantes: $$ (1 - 3) + (3i - i) = -2 + 2i $$

Resposta

Portanto, a expressão reduzida à forma $a + b i$ é $-2 + 2i$.

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