Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
15.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que é uma equação diferencial de segunda ordem. A equação é:
Com as condições iniciais:
Nosso objetivo é expressar a solução dessa equação em função de uma convolução. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre convolução e resposta ao impulso em sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma convolução. Em termos simples, a convolução permite a gente encontrar a saída de um sistema linear quando conhecemos sua resposta ao impulso e a entrada do sistema. Matematicamente, se é a resposta ao impulso e é a entrada, a convolução é dada por:
Então, para usar isso, precisamos descobrir qual é a do nosso sistema, que nesse caso é nossa equação diferencial.

Passo 3

Vamos encontrar a resposta ao impulso . Para isso, consideramos que é um impulso de Dirac, ou seja, . Com isso, a equação fica:
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial homogênea associada:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
A gente resolve essa equação encontrando as raízes da equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas: .

Passo 4

Com as raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Como queremos a resposta ao impulso, usamos as condições iniciais adequadas para e suas derivadas. Sabemos que:
Aplicando :
Então, .
Derivando :
Simplificando em :
Então, a resposta ao impulso é:

Passo 5

Agora que temos , podemos escrever a solução geral do problema como a convolução de com :
Substituindo :
Isso expressa a solução em termos de uma convolução envolvendo a resposta ao impulso do sistema e a função .

Resposta

A solução do problema de valor inicial pode ser expressa como:

Exercícios relacionados

Encontre o limite.
d) .
Justifique a continuidade das funções abaixo.
b)
Seja igual a um inteiro positivo em (a); mostre que
Verifique se as funções abaixo possuem assíntota horizontal.
a) .