Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
15.
15.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que é uma equação diferencial de segunda ordem. A equação é:
Com as condições iniciais:
Nosso objetivo é expressar a solução dessa equação em função de uma convolução. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre convolução e resposta ao impulso em sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma convolução. Em termos simples, a convolução permite a gente encontrar a saída de um sistema linear quando conhecemos sua resposta ao impulso e a entrada do sistema. Matematicamente, se
é a resposta ao impulso e
é a entrada, a convolução é dada por:
Então, para usar isso, precisamos descobrir qual é a
do nosso sistema, que nesse caso é nossa equação diferencial.
Passo 3
Vamos encontrar a resposta ao impulso
. Para isso, consideramos que
é um impulso de Dirac, ou seja,
. Com isso, a equação fica:
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial homogênea associada:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
A gente resolve essa equação encontrando as raízes da equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:
.
Passo 4
Com as raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Como queremos a resposta ao impulso, usamos as condições iniciais adequadas para
e suas derivadas. Sabemos que:
Aplicando
:
Então,
.
Derivando
:
Simplificando em
:
Então, a resposta ao impulso é:
Passo 5
Agora que temos
, podemos escrever a solução geral do problema como a convolução de
com
:
Substituindo
:
Isso expressa a solução
em termos de uma convolução envolvendo a resposta ao impulso do sistema e a função
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial pode ser expressa como:
Exercícios relacionados
Encontre o limite.
d) .
d)
Justifique a continuidade das funções abaixo.
b)
b)
Seja
igual a um inteiro positivo
em (a); mostre que
Verifique se as funções abaixo possuem assíntota horizontal.
a) .
a)