Seja p igual a um inteiro positivo n em (a); mostre que
L{t^n} = n!/s^{n+1}, s > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace de é igual a quando . Aqui, estamos lidando com Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência . Para resolver isso, vamos precisar da definição da Transformada de Laplace e entender um pouco sobre fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. A transformada de uma função é definida por:
Isso significa que estamos integrando a função multiplicada por de a .

Passo 3

No nosso caso, a função que queremos transformar é . Então, aplicando a definição:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar a expressão em termos de .

Passo 4

Para resolver a integral , usamos uma propriedade conhecida de integrais que envolve fatoriais. A integral de de a é igual a . Isso acontece porque a integral representa uma função gama, que para inteiros positivos é igual a .

Resposta

Portanto, mostramos que a transformada de Laplace de é:

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