Seja
igual a um inteiro positivo
em (a); mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace de
é igual a
quando
. Aqui, estamos lidando com Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo
para o domínio da frequência
. Para resolver isso, vamos precisar da definição da Transformada de Laplace e entender um pouco sobre fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. A transformada de uma função
é definida por:
Isso significa que estamos integrando a função
multiplicada por
de
a
.
Passo 3
No nosso caso, a função que queremos transformar é
. Então, aplicando a definição:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar a expressão em termos de
.
Passo 4
Para resolver a integral
, usamos uma propriedade conhecida de integrais que envolve fatoriais. A integral de
de
a
é igual a
. Isso acontece porque a integral representa uma função gama, que para inteiros positivos
é igual a
.
Resposta
Portanto, mostramos que a transformada de Laplace de
é: