Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
O objetivo aqui é encontrar a solução dessa equação em função de uma convolução. Para isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace e entender como aplicar o teorema da convolução na resolução de equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:
Isso resulta em:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais e :
Simplificando:
Passo 4
Vamos juntar os termos com :
Isolando :
Passo 5
Para simplificar, vamos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
Passo 6
Agora, vamos aplicar o teorema da convolução. Sabemos que a Transformada de Laplace da convolução de duas funções é o produto de suas transformadas. Assim, podemos escrever a solução como a convolução das inversas das transformadas dos termos obtidos.
Passo 7
Vamos identificar as funções envolvidas na convolução. Tomando e a resposta ao impulso associada à equação homogênea:
Onde denota a convolução.
Passo 8
Finalmente, a solução da equação diferencial em termos de convolução fica:
Resposta
A solução do problema de valor inicial dado, expressa em função de uma convolução, é: