Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
O objetivo aqui é encontrar a solução dessa equação em função de uma convolução. Para isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace e entender como aplicar o teorema da convolução na resolução de equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:
Isso resulta em:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 4

Vamos juntar os termos com :
Isolando :

Passo 5

Para simplificar, vamos dividir cada termo no numerador pelo denominador:

Passo 6

Agora, vamos aplicar o teorema da convolução. Sabemos que a Transformada de Laplace da convolução de duas funções é o produto de suas transformadas. Assim, podemos escrever a solução como a convolução das inversas das transformadas dos termos obtidos.

Passo 7

Vamos identificar as funções envolvidas na convolução. Tomando e a resposta ao impulso associada à equação homogênea:
Onde denota a convolução.

Passo 8

Finalmente, a solução da equação diferencial em termos de convolução fica:

Resposta

A solução do problema de valor inicial dado, expressa em função de uma convolução, é:

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