Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(f) sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2+2 n

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui uma série infinita para analisar e descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O que isso significa? A gente vai ver se a soma dos termos dessa série chega a um valor específico quando a gente soma até o infinito. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de convergência de séries e aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série dada:
sumn=1^infty (-1)^n-1 1n^2 + 2n
Essa é uma série alternada por causa do termo (-1)^n-1. Para saber se ela é absolutamente ou condicionalmente convergente, precisamos analisar duas coisas:
  1. Convergência Absoluta: A série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos termos converge.
  2. Convergência Condicional: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não, então é condicionalmente convergente.
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Pegamos o valor absoluto dos termos da série:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 1n^2 + 2n | = sumn=1^infty 1n^2 + 2n
Simplificando o denominador:
n^2 + 2n = n(n + 2)
Então, a série fica:
sumn=1^infty 1n(n + 2)
Agora, para verificar se essa série converge, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que a série sum 1n^2 é uma série p, que converge porque o expoente de n é maior que 1.
Observando nossos termos:
1n(n + 2) < 1n^2
Como sum 1n^2 converge e nossos termos são menores que 1n^2, pelo Teste da Comparação, a série sum 1n(n + 2) também converge.

Resposta

Portanto, a série original é absolutamente convergente.

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(h) sumn=1^infty e^arctan nn^2+1
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d y/d x = - (2 x sen(y) + e^x cos(y)) / (x^2 cos(y) - e^x sen(y))
Resolva as seguintes EDO dx/dt = x^2 t^2
Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
y'' + 3y' + 2y = cos(αt), y(0) = 1, y'(0) = 0