Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(f)
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui uma série infinita para analisar e descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O que isso significa? A gente vai ver se a soma dos termos dessa série chega a um valor específico quando a gente soma até o infinito. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de convergência de séries e aplicar testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série dada:
Essa é uma série alternada por causa do termo . Para saber se ela é absolutamente ou condicionalmente convergente, precisamos analisar duas coisas:
Convergência Absoluta: A série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos termos converge.
Convergência Condicional: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não, então é condicionalmente convergente.
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Pegamos o valor absoluto dos termos da série:
Simplificando o denominador:
n^2 + 2n = n(n + 2)
Então, a série fica:
sumn=1^infty 1n(n + 2)
Agora, para verificar se essa série converge, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que a série sum 1n^2 é uma série p, que converge porque o expoente de n é maior que 1.
Observando nossos termos:
1n(n + 2) < 1n^2
Como sum 1n^2 converge e nossos termos são menores que 1n^2, pelo Teste da Comparação, a série sum 1n(n + 2) também converge.
Resposta
Portanto, a série original é absolutamente convergente.