Expresse a solução do problema de valor inicial termos de .

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de valor inicial com a condição . Esse tipo de equação é uma equação linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes na equação geral da forma . No nosso caso, e .

Passo 3

Calculamos o fator integrante que é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para torná-la exata.

Passo 4

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de .

Passo 5

Reescrevemos a equação como:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

A integral de não pode ser expressa em termos de funções elementares, mas sabemos que está relacionada à função erro ( ):
Assim, temos:

Passo 7

Resolvemos para multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Isolando :

Passo 9

Substituímos na solução geral:

Resposta

A solução do problema é

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