Expresse a solução do problema de valor inicial
termos de
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de valor inicial
com a condição
. Esse tipo de equação é uma equação linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes na equação geral da forma
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
que é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para torná-la exata.
Passo 4
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de
.
Passo 5
Reescrevemos a equação como:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
A integral de
não pode ser expressa em termos de funções elementares, mas sabemos que está relacionada à função erro (
):
Assim, temos:
Passo 7
Resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Isolando
:
Passo 9
Substituímos
na solução geral:
Resposta
A solução do problema é
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Reescreva os intervalos a seguir na forma de desigualdades:
Releia o Exemplo 3 e discuta, com base no Teorema 1.2.1, a existência e unicidade de uma solução do problema de valor inicial que consiste em
e na condição inicial dada.
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