Use o Método da Derivação Logarítmica para calcular as derivadas das seguintes funçōes: y=raizx e^x^2(x^2+1)^10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função usando o Método da Derivação Logarítmica. Esse método é super útil quando temos funções que são produtos ou potências de várias funções, como é o caso aqui. Vamos precisar saber sobre logaritmos, derivadas básicas e algumas propriedades das funções exponenciais e de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a multiplicação em uma soma, o que facilita a derivação. Então temos:
ln(y) = ln(raizx , e^x^2 (x^2+1)^10)

Passo 3

Agora, usando as propriedades dos logaritmos, vamos separar os termos multiplicados em somas de logaritmos:
ln(y) = ln(raizx) + ln(e^x^2) + ln((x^2+1)^10)

Passo 4

Simplificamos cada termo usando propriedades dos logaritmos:
ln(raizx) = 12 ln(x)
ln(e^x^2) = x^2
ln((x^2+1)^10) = 10 ln(x^2+1)
Então, temos:
ln(y) = 12 ln(x) + x^2 + 10 ln(x^2+1)

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a ddx [ln(y)] = ddx [12 ln(x) + x^2 + 10 ln(x^2+1)] . Lembre-se que é função de , então usaremos a derivada implícita:

Passo 6

Calculamos as derivadas de cada termo do lado direito:
ddx (12 ln(x)) = 12 cdot 1x = 12x
ddx (x^2) = 2x
ddx (10 ln(x^2+1)) = 10 cdot 2xx^2+1 = 20xx^2+1
Então, a derivada do lado direito fica:
12x + 2x + 20xx^2+1

Passo 7

A derivada do lado esquerdo, usando a regra da cadeia, fica:
ddx [ln(y)] = 1y cdot dydx
Portanto, temos:
1y cdot dydx = 12x + 2x + 20xx^2+1

Passo 8

Para encontrar dydx = y ( 12x + 2x + 20xx^2+1 ) , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 9

Lembrando que dydx = raizx , e^x^2 (x^2+1)^10 ( 12x + 2x + 20xx^2+1 ) , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:
dydx = raizx , e^x^2 (x^2+1)^10 ( 12x + 2x + 20xx^2+1 )

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