Use o Método da Derivação Logarítmica para calcular as derivadas das seguintes funçōes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função
usando o Método da Derivação Logarítmica. Esse método é super útil quando temos funções que são produtos ou potências de várias funções, como é o caso aqui. Vamos precisar saber sobre logaritmos, derivadas básicas e algumas propriedades das funções exponenciais e de potência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a multiplicação em uma soma, o que facilita a derivação. Então temos:
Passo 3
Agora, usando as propriedades dos logaritmos, vamos separar os termos multiplicados em somas de logaritmos:
Passo 4
Simplificamos cada termo usando propriedades dos logaritmos:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é função de
, então usaremos a derivada implícita:
Passo 6
Calculamos as derivadas de cada termo do lado direito:
Então, a derivada do lado direito fica:
Passo 7
A derivada do lado esquerdo, usando a regra da cadeia, fica:
Portanto, temos:
Passo 8
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é:
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Expresse
em termos de
e de
, em que
é uma função diferenciável dada implicitamente por:
Seja
uma função diferenciável e defina
. Verifique que
Qual seria o campo elétrico necessário caso o fio fosse feito de prata?
;
. Resp:
Calcule um valor aproximado para
usando diferencial.