Expresse a y / d x em termos de x e de y, onde y = f(x) é uma função diferenciável dada implic tamente pela equação
y + ln(x^2 + y^2) = 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de derivação implícita onde precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A equação que define essa relação é:
Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a derivação implícita, já que está ligada a dentro da função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a .
Derivando o lado esquerdo:
Para a derivada do logaritmo, aplicamos a regra da cadeia:
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
O lado direito da equação é uma constante (4), e a derivada de uma constante é zero:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver para :
Primeiro, vamos organizar os termos que contêm :
Isolando :
Agora, dividimos ambos os lados pela expressão que multiplica :
Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada em termos de e é:

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