Expresse a y / d x em termos de x e de y, onde y = f(x) é uma função diferenciável dada implic tamente pela equação
x^2 - y^2 = 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressar em termos de e , onde é uma função diferenciável definida pela equação . A matéria que vamos usar aqui é diferenciação implícita, que é útil quando temos uma relação entre e que não está resolvida explícita para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a função está dada de forma implícita. A equação relaciona e , mas não está resolvida para . Para encontrar , precisamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a .

Passo 3

Vamos diferenciar em relação a . Sabemos que a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar em relação a . Como é uma função de , usamos a regra da cadeia:
Aqui, é o que queremos encontrar.

Passo 5

Diferenciando o lado direito da equação, que é constante:

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos a equação derivada:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para . Primeiro, isolamos o termo que contém :

Passo 8

Agora, dividimos ambos os lados por :

Resposta

Exercícios relacionados