Seja C definido ao longo do arco em que |z|=1, indo de z=1 até z=i e de uma reta que vai de z=i até z=-1. Calcule a integral integralC Im(z-i) d z. Justifique sua resposta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral integralC Im(z-i) , dz, onde C é um caminho que começa no ponto z=1, vai até z=i seguindo o arco do círculo unitário |z|=1, e depois segue uma reta de z=i até z=-1. Vamos usar conceitos de integração no plano complexo e parametrização de caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa Im(z - i). Aqui, Im representa a parte imaginária de um número complexo. Então, para qualquer z = x + iy, temos:
Im(z - i) = Im((x + iy) - i) = Im(x + i(y - 1)) = y - 1
Ou seja, a função que estamos integrando é simplesmente y - 1, onde z = x + iy.

Passo 3

Vamos dividir o caminho C em duas partes:
  1. Caminho C1: do z=1 até z=i no arco do círculo unitário.
  2. Caminho C2: de z=i até z=-1 na reta.
Vamos calcular a integral em cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 4

Calculando a integral em C1:
No arco do círculo unitário, podemos parametrizar z usando theta de 0 a pi2:
z(theta) = e^itheta = costheta + isintheta
Derivando em relação a theta:
dzdtheta = -sintheta + icostheta
Então, dz = (-sintheta + icostheta) dtheta.
A parte imaginária de z - i é:
Im(z - i) = sintheta - 1
Agora, a integral em C1 fica:
integralC1 (sintheta - 1)(-sintheta + icostheta) dtheta

Passo 5

Vamos expandir o produto dentro da integral:
(sintheta - 1)(-sintheta + icostheta) = -sin^2theta + sintheta + isinthetacostheta - icostheta
Agora, separamos a parte real e imaginária:
integral0^pi2 ( -sin^2theta + sintheta ) dtheta + i integral0^pi2 ( sinthetacostheta - costheta ) dtheta

Passo 6

Calculando a parte real:
integral0^pi2 (-sin^2theta + sintheta) dtheta = -integral0^pi2 sin^2theta , dtheta + integral0^pi2 sintheta , dtheta
Sabemos que:
integral sin^2theta , dtheta = theta2 - sin(2theta)4 + C
integral sintheta , dtheta = -costheta + C
Aplicando os limites:
-( pi4 - 0 ) + ( -cospi2 + cos0 ) = -pi4 + (0 + 1) = 1 - pi4

Passo 7

Calculando a parte imaginária:
i [ integral0^pi2 sinthetacostheta , dtheta - integral0^pi2 costheta , dtheta ]
Sabemos que:
integral sinthetacostheta , dtheta = sin^2theta2 + C
integral costheta , dtheta = sintheta + C
Aplicando os limites:
i ( sin^2pi22 - sin^2 02 - (sinpi2 - sin0) ) = i ( 12 - 0 - (1 - 0) ) = i ( -12 ) = -i2

Passo 8

Então, a integral em C1 é:
integralC1 Im(z - i) , dz = (1 - pi4) - i2

Passo 9

Calculando a integral em C2:
No caminho C2, que é uma reta de z=i até z=-1, podemos parametrizar z de t=0 a t=1:
z(t) = i + t(-1 - i) = -t + i(1 - t)
Derivando em relação a t:
dzdt = -1 - i
Então, dz = (-1 - i) dt.
A parte imaginária de z - i é:
Im(z - i) = Im(-t + i(1 - t) - i) = Im(-t + i(-t)) = -t
Agora, a integral em C2 fica:
integral0^1 (-t)(-1 - i) dt = integral0^1 t(1 + i) dt

Passo 10

Integrando:
integral0^1 t(1 + i) dt = (1 + i) integral0^1 t , dt = (1 + i) [ t^22 ]0^1 = (1 + i) ( 12 - 0 ) = 1 + i2

Passo 11

Agora, somamos as integrais de C1 e C2:
integralC Im(z - i) , dz = (1 - pi4) - i2 + 1 + i2 = (1 - pi4 + 12) + (-i2 + i2)
Simplificando:
1 - pi4 + 12 = 32 - pi4
E as partes imaginárias se cancelam.

Resposta

A integral vale dfrac32 - dfracpi4.

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