Seja
definido ao longo do arco em que
, indo de
até
e de uma reta que vai de
até
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
, onde
é um caminho que começa no ponto
, vai até
seguindo o arco do círculo unitário
, e depois segue uma reta de
até
. Vamos usar conceitos de integração no plano complexo e parametrização de caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
representa a parte imaginária de um número complexo. Então, para qualquer
, temos:
Ou seja, a função que estamos integrando é simplesmente
, onde
.
Passo 3
Vamos dividir o caminho
em duas partes:
- Caminho
: do até no arco do círculo unitário. - Caminho
: de até na reta.
Vamos calcular a integral em cada parte separadamente e depois somar os resultados.
Passo 4
Calculando a integral em
:
No arco do círculo unitário, podemos parametrizar
usando
de
a
:
Derivando em relação a
:
Então,
.
A parte imaginária de
é:
Agora, a integral em
fica:
Passo 5
Vamos expandir o produto dentro da integral:
Agora, separamos a parte real e imaginária:
Passo 6
Calculando a parte real:
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Passo 7
Calculando a parte imaginária:
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Passo 8
Então, a integral em
é:
Passo 9
Calculando a integral em
:
No caminho
, que é uma reta de
até
, podemos parametrizar
de
a
:
Derivando em relação a
:
Então,
.
A parte imaginária de
é:
Agora, a integral em
fica:
Passo 10
Integrando:
Passo 11
Agora, somamos as integrais de
e
:
Simplificando:
E as partes imaginárias se cancelam.
Resposta
A integral vale
.