Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma
.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente expressar a função hiperbólica
na forma
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas e como elas se relacionam com números complexos. Vamos usar fórmulas que conectam exponenciais com funções trigonométricas, como a fórmula de Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da função hiperbólica cosseno. A função
é definida por:
Aqui,
pode ser um número complexo. No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, substituímos
por
na definição:
Para avançar, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Aí entra a famosa fórmula de Euler, que diz que:
Aplicando isso para
, temos:
De forma similar:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores de volta na expressão de
: