Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma
.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expressar a função trigonométrica
na forma
. Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e funções complexas. Precisamos lembrar das definições de funções trigonométricas para números complexos e como trabalhar com elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é simplesmente o inverso do cosseno, ou seja:
Então, nosso objetivo é encontrar
e depois inverter esse valor.
Passo 3
Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica importante:
Aplicando isso no nosso caso, temos:
Passo 4
Sabemos que a função seno para um número imaginário pode ser expressa usando funções hiperbólicas:
Portanto:
Passo 5
Agora, voltamos à definição da
:
Podemos simplificar isso multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 6
Finalmente, colocamos na forma
. Aqui, a parte real
é
e a parte imaginária
é
. Então, temos:
Resposta
Exercícios relacionados
Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma
.
(a)
(a)
Seja
um número complexo fixado, com
. Observe que
é multivalente. Quais restrições adicionais devem ser impostas à constante
para que
tenha somente um único valor?
Prove que
usando
(a) as definições de .
(a) as definições de