Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma .
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expressar a função trigonométrica na forma . Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e funções complexas. Precisamos lembrar das definições de funções trigonométricas para números complexos e como trabalhar com elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é simplesmente o inverso do cosseno, ou seja:
Então, nosso objetivo é encontrar e depois inverter esse valor.

Passo 3

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica importante:
Aplicando isso no nosso caso, temos:

Passo 4

Sabemos que a função seno para um número imaginário pode ser expressa usando funções hiperbólicas:
Portanto:

Passo 5

Agora, voltamos à definição da :
Podemos simplificar isso multiplicando numerador e denominador por :

Passo 6

Finalmente, colocamos na forma . Aqui, a parte real é e a parte imaginária é . Então, temos:

Resposta

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Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma .
(a)
Seja um número complexo fixado, com . Observe que é multivalente. Quais restrições adicionais devem ser impostas à constante para que tenha somente um único valor?
Prove que usando
(a) as definições de .