Expresse o vetor (3,4) como combinação linear de (2,1) e (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expressar o vetor (3,4) como uma combinação linear dos vetores (2,1) e (1,1). Isso está dentro do conteúdo de combinação linear na matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar definir dois coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores dados e somados, resultem no vetor que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os coeficientes de a cdot (2,1) + b cdot (1,1) = (3,4) e . Assim, queremos encontrar e tais que:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes nos vetores:
(a cdot 2 + b cdot 1, , a cdot 1 + b cdot 1) = (3,4)
Isso nos dá um sistema de equações:
2a + b = 3 a + b = 4

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição. Primeiro, da segunda equação:
a + b = 4 implies a = 4 - b

Passo 5

Agora, substituímos 2(4 - b) + b = 3 na primeira equação:
8 - 2b + b = 3
Distribuindo:
8 - b = 3
Simplificando:

Passo 6

Isolando -b = 3 - 8 implies -b = -5 implies b = 5 :

Passo 7

Agora que temos a = 4 - b = 4 - 5 = -1 , substituímos na expressão de :

Resposta

Então, o vetor (3,4) pode ser expresso como combinação linear de (2,1) e (1,1) da seguinte forma:
(3,4) = (-1) cdot (2,1) + 5 cdot (1,1)

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