Se , considerando os corpos partindo do repouso, qual a velocidade de chegada da esfera ao solo?

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma esfera que parte do repouso e desce por um plano inclinado com um ângulo de . Vamos resolver esse exercício utilizando conceitos de cinemática e conservação de energia. Vamos precisar das fórmulas de energia potencial, energia cinética translacional e energia cinética rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a esfera está descendo sem perder energia, ou seja, a energia potencial inicial dela será totalmente convertida em energia cinética na chegada ao solo. A energia potencial gravitacional inicial é dada por:
onde:
  • é a massa da esfera,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura do plano inclinado.

Passo 3

Como a esfera está descendo por um plano inclinado, a altura pode ser relacionada ao comprimento do plano e ao ângulo através da relação:
Substituindo :

Passo 4

A energia cinética total na chegada ao solo é a soma da energia cinética translacional ( ) e da energia cinética rotacional ( ):
Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
E como a esfera está rolando sem deslizar, a velocidade angular está relacionada à velocidade linear por:

Passo 5

Substituindo e na expressão de :

Passo 6

Pela conservação da energia, a energia potencial inicial é igual à energia cinética final:
Cancelando a massa dos dois lados:

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Substituindo :

Resposta

A velocidade de chegada da esfera ao solo é:

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