Se theta=30, considerando os corpos partindo do repouso, qual a velocidade de chegada da esfera ao solo?

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma esfera que parte do repouso e desce por um plano inclinado com um ângulo de theta = 30^circ. Vamos resolver esse exercício utilizando conceitos de cinemática e conservação de energia. Vamos precisar das fórmulas de energia potencial, energia cinética translacional e energia cinética rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a esfera está descendo sem perder energia, ou seja, a energia potencial inicial dela será totalmente convertida em energia cinética na chegada ao solo. A energia potencial gravitacional inicial é dada por:
Ep = mgh
onde:
  • m é a massa da esfera,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,8 , m/s^2),
  • h é a altura do plano inclinado.

Passo 3

Como a esfera está descendo por um plano inclinado, a altura h pode ser relacionada ao comprimento do plano L e ao ângulo theta através da relação:
h = L cdot sin(theta)
Substituindo theta = 30^circ:
h = L cdot sin(30^circ) = L cdot 0,5

Passo 4

A energia cinética total na chegada ao solo é a soma da energia cinética translacional ( Ek) e da energia cinética rotacional ( Erot):
Etotal = Ek + Erot = 12mv^2 + 12Iomega^2
Para uma esfera sólida, o momento de inércia I é:
I = 25mr^2
E como a esfera está rolando sem deslizar, a velocidade angular omega está relacionada à velocidade linear v por:
omega = vr

Passo 5

Substituindo I e omega na expressão de Etotal:
Etotal = 12mv^2 + 12 (25mr^2) (vr)^2 = 12mv^2 + 15mv^2 = 710mv^2

Passo 6

Pela conservação da energia, a energia potencial inicial é igual à energia cinética final:
mgh = 710mv^2
Cancelando a massa m dos dois lados:
gh = 710v^2

Passo 7

Resolvendo para v:
v^2 = 107gh v = raiz107gh

Passo 8

Substituindo h = L cdot 0,5:
v = raiz107g cdot L cdot 0,5 = raiz57gL

Resposta

A velocidade de chegada da esfera ao solo é:
v = raiz57gL

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