Se
, considerando os corpos partindo do repouso, qual a velocidade de chegada da esfera ao solo?
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma esfera que parte do repouso e desce por um plano inclinado com um ângulo de
. Vamos resolver esse exercício utilizando conceitos de cinemática e conservação de energia. Vamos precisar das fórmulas de energia potencial, energia cinética translacional e energia cinética rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a esfera está descendo sem perder energia, ou seja, a energia potencial inicial dela será totalmente convertida em energia cinética na chegada ao solo. A energia potencial gravitacional inicial é dada por:
onde:
-
é a massa da esfera, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura do plano inclinado.
Passo 3
Como a esfera está descendo por um plano inclinado, a altura
pode ser relacionada ao comprimento do plano
e ao ângulo
através da relação:
Substituindo
:
Passo 4
A energia cinética total na chegada ao solo é a soma da energia cinética translacional (
) e da energia cinética rotacional (
):
Para uma esfera sólida, o momento de inércia
é:
E como a esfera está rolando sem deslizar, a velocidade angular
está relacionada à velocidade linear
por:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 6
Pela conservação da energia, a energia potencial inicial é igual à energia cinética final:
Cancelando a massa
dos dois lados:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Substituindo
:
Resposta
A velocidade de chegada da esfera ao solo é:
Exercícios relacionados
Encontre a velocidade escalar do corpo sendo
, e o ângulo
graus que o fio faz com um eixo vertical
Expresse o vetor
em termos da tríade
onde os eixos
são girados em torno do eixo
(que coincide com o eixo
) de um ângulo de
.
(9.1 Alaor) Uma bola de massa
e velocidade
incide sobre uma parede, fazendo um ângulo de
com esta. No choque a bola perde um terço de sua energia cinética inicial, e reflete fazendo um ângulo de
com a parede. Determine:
(b) A direção e o sentido da força média exercida pela parede sobre a bola.
(b) A direção e o sentido da força média exercida pela parede sobre a bola.
Com relação a R, como indicado, temos componente Rx e Ry. Quais os valores destas componentes?