Exprima o vetor com combinação linear dos vetores , em que denota uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores , e . Vamos usar o conceito de combinação linear para achar os coeficientes que multiplicam cada vetor.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que é combinação linear. Uma combinação linear de vetores é uma soma de múltiplos desses vetores. Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Substituindo os vetores dados:

Passo 3

Vamos expandir a expressão do lado direito:
Distribuindo os coeficientes:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
Então, temos:

Passo 5

Para que os dois vetores sejam iguais, os coeficientes dos vetores base devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos na terceira equação:

Passo 7

Com , encontramos :

Passo 8

Agora, substituímos e na primeira equação para encontrar :

Resposta

Então, os coeficientes são , e . Assim, o vetor pode ser escrito como:

Exercícios relacionados

Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(b) ;
Escrever a equação polar da reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao eixo polar.
Sejam e bases do tais que e .
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
(b) Encontre , se .
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(i)