Exprima o vetor com combinação linear dos vetores , em que denota uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores , e . Vamos usar o conceito de combinação linear para achar os coeficientes que multiplicam cada vetor.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que é combinação linear. Uma combinação linear de vetores é uma soma de múltiplos desses vetores. Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Substituindo os vetores dados:
Passo 3
Vamos expandir a expressão do lado direito:
Distribuindo os coeficientes:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Então, temos:
Passo 5
Para que os dois vetores sejam iguais, os coeficientes dos vetores base devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Passo 7
Com , encontramos :
Passo 8
Agora, substituímos e na primeira equação para encontrar :
Resposta
Então, os coeficientes são , e . Assim, o vetor pode ser escrito como: