Exprima o vetor com combinação linear dos vetores v=e1, w=3 e1+2 e2+e3 et=-e1-e2+e3, em que e1, e2, e3 denota uma base de V^3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expressar o vetor u = 4 e1 + e3 como uma combinação linear dos vetores v = e1, w = 3 e1 + 2 e2 + e3 e t = -e1 - e2 + e3. Vamos usar o conceito de combinação linear para achar os coeficientes que multiplicam cada vetor.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que é combinação linear. Uma combinação linear de vetores é uma soma de múltiplos desses vetores. Ou seja, queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
u = av + bw + ct
Substituindo os vetores dados:
4 e1 + e3 = a e1 + b (3 e1 + 2 e2 + e3) + c (-e1 - e2 + e3)
Passo 3
Vamos expandir a expressão do lado direito:
a e1 + b (3 e1 + 2 e2 + e3) + c (-e1 - e2 + e3)
Distribuindo os coeficientes:
a e1 + 3b e1 + 2b e2 + b e3 - c e1 - c e2 + c e3
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Coeficiente de e1: a + 3b - c
Coeficiente de e2: 2b - c
Coeficiente de e3: b + c
Então, temos:
4 e1 + e3 = (a + 3b - c) e1 + (2b - c) e2 + (b + c) e3
Passo 5
Para que os dois vetores sejam iguais, os coeficientes dos vetores base devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + 3b - c = 4 2b - c = 0 b + c = 1
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
2b - c = 0 implies c = 2b
Agora, substituímos c = 2b na terceira equação:
b + 2b = 1 implies 3b = 1 implies b = 13
Passo 7
Com b = 13, encontramos c:
c = 2b = 2 times 13 = 23
Passo 8
Agora, substituímos b e c na primeira equação para encontrar a:
a + 3 (13) - 23 = 4 a + 1 - 23 = 4 a + 13 = 4 a = 4 - 13 = 123 - 13 = 113
Resposta
Então, os coeficientes são a = 113, b = 13 e c = 23. Assim, o vetor u pode ser escrito como: