Exprima o vetor u=4 e1+e3 com combinação linear dos vetores v=e1, w=3 e1+2 e2+e3 e t=-e1-e2+e3, em que e1, e2, e3 denota uma base de V^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expressar o vetor u = 4 e1 + e3 como uma combinação linear dos vetores v = e1, w = 3 e1 + 2 e2 + e3 e t = -e1 - e2 + e3. Vamos usar o conceito de combinação linear para achar os coeficientes que multiplicam cada vetor.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que é combinação linear. Uma combinação linear de vetores é uma soma de múltiplos desses vetores. Ou seja, queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
u = av + bw + ct
Substituindo os vetores dados:
4 e1 + e3 = a e1 + b (3 e1 + 2 e2 + e3) + c (-e1 - e2 + e3)

Passo 3

Vamos expandir a expressão do lado direito:
a e1 + b (3 e1 + 2 e2 + e3) + c (-e1 - e2 + e3)
Distribuindo os coeficientes:
a e1 + 3b e1 + 2b e2 + b e3 - c e1 - c e2 + c e3

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
  • Coeficiente de e1: a + 3b - c
  • Coeficiente de e2: 2b - c
  • Coeficiente de e3: b + c
Então, temos:
4 e1 + e3 = (a + 3b - c) e1 + (2b - c) e2 + (b + c) e3

Passo 5

Para que os dois vetores sejam iguais, os coeficientes dos vetores base devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + 3b - c = 4 2b - c = 0 b + c = 1

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
2b - c = 0 implies c = 2b
Agora, substituímos c = 2b na terceira equação:
b + 2b = 1 implies 3b = 1 implies b = 13

Passo 7

Com b = 13, encontramos c:
c = 2b = 2 times 13 = 23

Passo 8

Agora, substituímos b e c na primeira equação para encontrar a:
a + 3 (13) - 23 = 4 a + 1 - 23 = 4 a + 13 = 4 a = 4 - 13 = 123 - 13 = 113

Resposta

Então, os coeficientes são a = 113, b = 13 e c = 23. Assim, o vetor u pode ser escrito como:
u = 113 v + 13 w + 23 t

Exercícios relacionados