Sejam e bases do tais que e .
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
(b) Encontre , se .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! 😊 O problema fala sobre duas bases, α e β, no espaço tridimensional . A gente precisa encontrar a matriz de mudança de base da base α para a base β e, depois, representar um vetor específico na base β. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e coordenadas de vetores em diferentes bases.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são bases e a matriz de mudança de base. Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. A matriz de mudança de base transforma as coordenadas de um vetor de uma base para outra.
Passo 3
Vamos começar determinando a matriz de mudança de base da base α para a base β. Sabemos que é expressa em termos da base α:
Passo 4
A matriz de mudança de base é formada pelas coordenadas dos vetores da base β na base α. Ou seja, cada coluna dessa matriz é um vetor expresso em términos de .
Então, temos:
Passo 5
Agora que temos a matriz de mudança de base, vamos para a parte (b). Queremos encontrar as coordenadas de na base β, ou seja, .
Para isso, usamos a relação:
Onde são as coordenadas de na base α. Como α é a base padrão aqui, .
Passo 6
Primeiro, vamos calcular a matriz inversa . Calculando a inversa da matriz que encontramos:
Passo 7
Agora, vamos multiplicar essa matriz inversa pelo vetor :
Resposta
A matriz de mudança de base da base α para a base β é