Sejam e bases do tais que e .
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
(b) Encontre , se .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! 😊 O problema fala sobre duas bases, α e β, no espaço tridimensional . A gente precisa encontrar a matriz de mudança de base da base α para a base β e, depois, representar um vetor específico na base β. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e coordenadas de vetores em diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são bases e a matriz de mudança de base. Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. A matriz de mudança de base transforma as coordenadas de um vetor de uma base para outra.

Passo 3

Vamos começar determinando a matriz de mudança de base da base α para a base β. Sabemos que é expressa em termos da base α:

Passo 4

A matriz de mudança de base é formada pelas coordenadas dos vetores da base β na base α. Ou seja, cada coluna dessa matriz é um vetor expresso em términos de .
Então, temos:

Passo 5

Agora que temos a matriz de mudança de base, vamos para a parte (b). Queremos encontrar as coordenadas de na base β, ou seja, .
Para isso, usamos a relação:
Onde são as coordenadas de na base α. Como α é a base padrão aqui, .

Passo 6

Primeiro, vamos calcular a matriz inversa . Calculando a inversa da matriz que encontramos:

Passo 7

Agora, vamos multiplicar essa matriz inversa pelo vetor :

Resposta

A matriz de mudança de base da base α para a base β é
E as coordenadas do vetor na base β são

Exercícios relacionados

Exprima o vetor com combinação linear dos vetores , em que denota uma base de .
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(b) ;
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(i)
Seja uma base de . Em cada um dos itens abaixo, decida se é ou não uma base de
(i)
(ii)
(iii)
(iv)