Sejam alpha=u1=(1,1,-2), u2=(0,1,1), u3=(2,1,0) e beta=v1, v2, v3 bases do R^3 tais que v1=u1-u2-2 u3, v2=u1+2 u2-2 u3 e v3=u1+u2-u3.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base alpha para a base beta.
(b) Encontre [v]beta, se v=(3,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! 😊 O problema fala sobre duas bases, α e β, no espaço tridimensional . A gente precisa encontrar a matriz de mudança de base da base α para a base β e, depois, representar um vetor específico na base β. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e coordenadas de vetores em diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são bases e a matriz de mudança de base. Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. A matriz de mudança de base transforma as coordenadas de um vetor de uma base para outra.

Passo 3

Vamos começar determinando a matriz de mudança de base da base α para a base β. Sabemos que v1 = u1 - u2 - 2u3 v2 = u1 + 2u2 - 2u3 v3 = u1 + u2 - u3 é expressa em termos da base α:

Passo 4

A matriz de mudança de base Palpha beta = 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 -2 & -2 & -1 é formada pelas coordenadas dos vetores da base β na base α. Ou seja, cada coluna dessa matriz é um vetor expresso em términos de .
Então, temos:

Passo 5

Agora que temos a matriz de mudança de base, vamos para a parte (b). Queremos encontrar as coordenadas de [v]beta = Palpha beta^-1 cdot valpha na base β, ou seja, 3 2 1 .
Para isso, usamos a relação:
Onde são as coordenadas de na base α. Como α é a base padrão aqui, .

Passo 6

Primeiro, vamos calcular a matriz inversa Palpha beta^-1 = 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 -2 & -2 & -1 ^-1 = 1 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 . Calculando a inversa da matriz que encontramos:

Passo 7

Agora, vamos multiplicar essa matriz inversa pelo vetor [v]beta = 1 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 cdot 3 2 1 = 1*3 + (-1)*2 + 1*1 -1*3 + 0*2 + 1*1 -1*3 + 1*2 + 0*1 = 3 - 2 + 1 -3 + 0 + 1 -3 + 2 + 0 = 2 -2 -1 :

Resposta

A matriz de mudança de base da base α para a base β é
Palpha beta = 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 -2 & -2 & -1
E as coordenadas do vetor [v]beta = 2 -2 -1 na base β são

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