Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.
y = e^(x + A) + B e^(x)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma primitiva dada por , onde e são constantes essenciais. O objetivo é encontrar a equação diferencial associada a essa função, ou seja, uma equação que relacione com suas derivadas sem envolver as constantes e .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma equação diferencial envolve e suas derivadas em relação a . Então, para eliminar as constantes e , vamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de :
Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é porque a derivada de é 1. Já a derivada de é .
Então:

Passo 4

Observamos que a derivada é exatamente igual à função :
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é proporcional a mesma.

Passo 5

Portanto, a equação diferencial que estamos procurando é:

Resposta

A equação diferencial associada é .

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