Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma primitiva dada por
, onde
e
são constantes essenciais. O objetivo é encontrar a equação diferencial associada a essa função, ou seja, uma equação que relacione
com suas derivadas sem envolver as constantes
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma equação diferencial envolve
e suas derivadas em relação a
. Então, para eliminar as constantes
e
, vamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Para derivar
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
porque a derivada de
é 1. Já a derivada de
é
.
Então:
Passo 4
Observamos que a derivada
é exatamente igual à função
:
Isso significa que a taxa de variação de
em relação a
é proporcional a
mesma.
Passo 5
Portanto, a equação diferencial que estamos procurando é:
Resposta
A equação diferencial associada é
.
Exercícios relacionados
Exprimir cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial e obter a solução para um tempo t se possível.
Força= massa x aceleração.
Força= massa x aceleração.
Exprimir cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial e obter a solução para um tempo t se possível.
A população P de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população.
A população P de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população.
Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.
Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.