Extensômetros foram colocados em uma superfície de aço ( E=205 Mpa e v=0,29) e indicam uma deformação de varepsilonx=-0,00042, varepsilony=0,00071 e gammaxy=0.00037.
Usando a lei de Hooke, encontre as tensões principais, a partir das deformações principais.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos extensômetros em uma superfície de aço com módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson . As deformações medidas são:
O objetivo é usar a Lei de Hooke para encontrar as tensões principais a partir das deformações principais. Vamos precisar aplicar conceitos de tensão e deformação, além de transformar as deformações dadas para encontrar as principais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as deformações principais. As deformações principais são as deformações máximas e mínimas que ocorrem em direções perpendiculares. Para isso, usamos as fórmulas da mecânica dos sólidos para transformar as deformações gerais em deformações principais.
A fórmula para encontrar as deformações principais varepsilon1,2 = varepsilonx + varepsilony2 pm raiz( varepsilonx - varepsilony2 )^2 + ( gammaxy2 )^2 e é:

Passo 3

Vamos substituir os valores dados na fórmula:
varepsilon1,2 = -0,00042 + 0,000712 pm raiz( -0,00042 - 0,000712 )^2 + ( 0,000372 )^2
Calculando cada parte:
varepsilonx + varepsilony2 = -0,00042 + 0,000712 = 0,000292 = 0,000145
varepsilonx - varepsilony2 = -0,00042 - 0,000712 = -0,001132 = -0,000565
( gammaxy2 )^2 = ( 0,000372 )^2 = (0,000185)^2 = 3,4225 times 10^-8
Agora, calculamos a raiz:
raiz(-0,000565)^2 + 3,4225 times 10^-8 = raiz3,19225 times 10^-7 + 3,4225 times 10^-8 = raiz3,5345 times 10^-7 approx 0,0005953

Passo 4

Agora, encontramos as deformações principais:
varepsilon1 = 0,000145 + 0,0005953 = 0,0007403
varepsilon2 = 0,000145 - 0,0005953 = -0,0004503
Arredondando:
varepsilon1 approx 0,00074
varepsilon2 approx -0,00045

Passo 5

Agora que temos as deformações principais, vamos usar a Lei de Hooke para encontrar as tensões principais. Para tensão em uma direção principal em um material isotrópico, a relação é:
sigma = E1 - nu^2 (varepsilon - nu varepsilontransversal)
No caso das deformações principais, as tensões principais são dadas por:
sigma1 = E1 - nu^2 (varepsilon1 + nu varepsilon2)
sigma2 = E1 - nu^2 (varepsilon2 + nu varepsilon1)

Passo 6

Vamos calcular E1 - nu^2 = 205 times 10^6 , Pa1 - (0,29)^2 = 205 times 10^61 - 0,0841 = 205 times 10^60,9159 approx 223,8 times 10^6 , Pa :

Passo 7

Agora, calculamos sigma1 = 223,8 times 10^6 times (0,00074 + 0,29 times -0,00045) = 223,8 times 10^6 times (0,00074 - 0,0001305) = 223,8 times 10^6 times 0,0006095 approx 136,3 , MPa e sigma2 = 223,8 times 10^6 times (-0,00045 + 0,29 times 0,00074) = 223,8 times 10^6 times (-0,00045 + 0,0002146) = 223,8 times 10^6 times -0,0002354 approx -52,7 , MPa :

Resposta

As tensões principais são aproximadamente e .

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