(Extra) Encontre o ponto da curva
na qual a reta tangente é perpendicular à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o ponto na curva
onde a reta tangente é perpendicular à reta
. Vamos usar conhecimentos de derivadas para encontrar a inclinação da tangente e depois determinar o ponto desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a inclinação da reta
. A equação geral da reta é
. Podemos reescrever isso na forma
, onde o coeficiente de
é a inclinação da reta. Então, a inclinação de
é
.
Passo 3
Agora, como queremos que a reta tangente seja perpendicular à reta
, precisamos do coeficiente angular da tangente que seja o negativo do inverso de
. Ou seja:
Passo 4
Vamos encontrar a derivada da função
para obter a inclinação da tangente em qualquer ponto
. Reescrevendo a função:
Aplicando a regra da cadeia para derivar:
Passo 5
Simplificando a derivada:
Passo 6
Queremos que a inclinação da tangente seja
. Então, igualamos a derivada a
:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Isolando
:
Elevando ambos os lados ao -3 para resolver para
:
Passo 7
Agora que temos
, vamos encontrar o valor correspondente de
na curva:
Resposta
Então, o ponto da curva onde a reta tangente é perpendicular �� reta
é
.
Exercícios relacionados
O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento periódico que acontece exclusivamente em sistemas conservativos. No MHS, uma força restauradora atua sobre o corpo de modo a fazê-lo voltar sempre a uma posição de equilíbrio. A descrição do MHS é feita com base nas grandezas frequência e período, por meio de funções horárias do movimento. Um ponto móvel sobre uma reta descreve um MHS e tem abscissa s dada em cada instante t pela lei
em que
e
são números reais dados. Determine: d) a aceleração no instante
.
A função
, com
, e sua derivada segunda
O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento periódico que acontece exclusivamente em sistemas conservativos. No MHS, uma força restauradora atua sobre o corpo de modo a fazê-lo voltar sempre a uma posição de equilíbrio. A descrição do MHS é feita com base nas grandezas frequência e período, por meio de funções horárias do movimento. Um ponto móvel sobre uma reta descreve um MHS e tem abscissa s dada em cada instante t pela lei
em que
e
são números reais dados. Determine: c) a lei que dá a aceleração do ponto em cada instante;
Calcule: