(Extra) Encontre o ponto da curva y = raiz(3)(x^2 / 2) na qual a reta tangente é perpendicular à reta r: 3x + y + 2 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o ponto na curva onde a reta tangente é perpendicular à reta . Vamos usar conhecimentos de derivadas para encontrar a inclinação da tangente e depois determinar o ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a inclinação da reta . A equação geral da reta é . Podemos reescrever isso na forma , onde o coeficiente de é a inclinação da reta. Então, a inclinação de é .

Passo 3

Agora, como queremos que a reta tangente seja perpendicular à reta , precisamos do coeficiente angular da tangente que seja o negativo do inverso de . Ou seja:

Passo 4

Vamos encontrar a derivada da função para obter a inclinação da tangente em qualquer ponto . Reescrevendo a função:
Aplicando a regra da cadeia para derivar:

Passo 5

Simplificando a derivada:

Passo 6

Queremos que a inclinação da tangente seja . Então, igualamos a derivada a :
Multiplicando ambos os lados por 3:
Isolando :
Elevando ambos os lados ao -3 para resolver para :

Passo 7

Agora que temos , vamos encontrar o valor correspondente de na curva:

Resposta

Então, o ponto da curva onde a reta tangente é perpendicular �� reta é .

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