(Extra) Encontre o ponto da curva na qual a reta tangente é perpendicular à reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o ponto na curva onde a reta tangente é perpendicular à reta . Vamos usar conhecimentos de derivadas para encontrar a inclinação da tangente e depois determinar o ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a inclinação da reta . A equação geral da reta é . Podemos reescrever isso na forma , onde o coeficiente de é a inclinação da reta. Então, a inclinação de é .

Passo 3

Agora, como queremos que a reta tangente seja perpendicular à reta , precisamos do coeficiente angular da tangente que seja o negativo do inverso de . Ou seja:

Passo 4

Vamos encontrar a derivada da função para obter a inclinação da tangente em qualquer ponto . Reescrevendo a função:
Aplicando a regra da cadeia para derivar:

Passo 5

Simplificando a derivada:

Passo 6

Queremos que a inclinação da tangente seja . Então, igualamos a derivada a :
Multiplicando ambos os lados por 3:
Isolando :
Elevando ambos os lados ao -3 para resolver para :

Passo 7

Agora que temos , vamos encontrar o valor correspondente de na curva:

Resposta

Então, o ponto da curva onde a reta tangente é perpendicular �� reta é .

Exercícios relacionados

O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento periódico que acontece exclusivamente em sistemas conservativos. No MHS, uma força restauradora atua sobre o corpo de modo a fazê-lo voltar sempre a uma posição de equilíbrio. A descrição do MHS é feita com base nas grandezas frequência e período, por meio de funções horárias do movimento. Um ponto móvel sobre uma reta descreve um MHS e tem abscissa s dada em cada instante t pela lei em que e são números reais dados. Determine: d) a aceleração no instante .
A função , com , e sua derivada segunda
O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento periódico que acontece exclusivamente em sistemas conservativos. No MHS, uma força restauradora atua sobre o corpo de modo a fazê-lo voltar sempre a uma posição de equilíbrio. A descrição do MHS é feita com base nas grandezas frequência e período, por meio de funções horárias do movimento. Um ponto móvel sobre uma reta descreve um MHS e tem abscissa s dada em cada instante t pela lei em que e são números reais dados. Determine: c) a lei que dá a aceleração do ponto em cada instante;
Calcule: