2 (8.0 pontos) Litilize a mudanga de variaveis it para calcular a integral , em que da regian delimitada pelas retas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral sobre a região delimitada pelas retas , , e . Vamos usar uma mudança de variáveis onde e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer mudanças de variáveis em integrais múltiplas, o que envolve encontrar o determinante da jacobiana para mudar as coordenadas e ajustar os limites de integração para a nova região no plano .
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as retas que delimitam a região :
(que é )
(que é )
Com essas equações, conseguimos visualizar que a região é um quadrilátero no plano .
Passo 3
Agora, vamos expressar e em termos de e :
Para encontrar e em função de e , resolveremos esse sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Então,
Passo 4
Precisamos calcular o determinante da jacobiana para a mudança de variáveis. A jacobiana é dada por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Agora, vamos expressar a função integranda em termos de e :
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos determinar os novos limites de integração na região no plano . As retas que delimitam se transformam da seguinte forma: