2 (8.0 pontos) Litilize a mudanga de variaveis it =y+x e ;=y-x para calcular a integral integral x^2-y^2) d A, em que R da regian delimitada pelas retas y=-x, y+x=1, y=x e y-x=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral sobre a região delimitada pelas retas , , e . Vamos usar uma mudança de variáveis onde e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer mudanças de variáveis em integrais múltiplas, o que envolve encontrar o determinante da jacobiana para mudar as coordenadas e ajustar os limites de integração para a nova região no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as retas que delimitam a região :
  1. (que é )
  2. (que é )
Com essas equações, conseguimos visualizar que a região é um quadrilátero no plano .

Passo 3

Agora, vamos expressar u = y + x v = y - x e u + v = 2y implies y = u + v2 em termos de u - v = 2x implies x = u - v2 e x = u - v2 y = u + v2 :
Para encontrar e em função de e , resolveremos esse sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Então,

Passo 4

Precisamos calcular o determinante da jacobiana J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v para a mudança de variáveis. A jacobiana é dada por:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = -12 partial ypartial u = 12, partial ypartial v = 12
Calculando as derivadas parciais:
J = 12 & -12 12 & 12 = (12 times 12) - (-12 times 12) = 14 + 14 = 12
Então,

Passo 5

Agora, vamos expressar a função integranda x = u - v2 y = u + v2 x^2 = (u - v2)^2 = (u - v)^24 y^2 = (u + v2)^2 = (u + v)^24 x^2 - y^2 = (u - v)^2 - (u + v)^24 em termos de (u - v)^2 - (u + v)^2 = u^2 - 2uv + v^2 - (u^2 + 2uv + v^2) = -4uv therefore x^2 - y^2 = -4uv4 = -uv e :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos determinar os novos limites de integração na região no plano . As retas que delimitam se transformam da seguinte forma:
Então, varia de 0 a 1 e varia de 0 a 2.

Passo 7

Montamos agora a integral transformada:
integral duplaR (x^2 - y^2) , dA = integral duplaR' (-uv) cdot |J| , du , dv = integral duplaR' (-uv) cdot 12 , du , dv
Portanto:
integralu=0^1 integralv=0^2 (-uv cdot 12) , dv , du

Passo 8

Vamos calcular a integral interna em integralv=0^2 (-uv2) , dv = -u2 integral0^2 v , dv = -u2 [ v^22 ]0^2 = -u2 ( 42 - 0 ) = -u2 times 2 = -u :

Passo 9

Agora, integramos o resultado em integralu=0^1 (-u) , du = -integral0^1 u , du = -[ u^22 ]0^1 = -( 12 - 0 ) = -12 :

Resposta

A integral vale .

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