2 (8.0 pontos) Litilize a mudanga de variaveis it para calcular a integral , em que da regian delimitada pelas retas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral sobre a região delimitada pelas retas , , e . Vamos usar uma mudança de variáveis onde e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer mudanças de variáveis em integrais múltiplas, o que envolve encontrar o determinante da jacobiana para mudar as coordenadas e ajustar os limites de integração para a nova região no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as retas que delimitam a região :
  1. (que é )
  2. (que é )
Com essas equações, conseguimos visualizar que a região é um quadrilátero no plano .

Passo 3

Agora, vamos expressar e em termos de e :
Para encontrar e em função de e , resolveremos esse sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Então,

Passo 4

Precisamos calcular o determinante da jacobiana para a mudança de variáveis. A jacobiana é dada por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 5

Agora, vamos expressar a função integranda em termos de e :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos determinar os novos limites de integração na região no plano . As retas que delimitam se transformam da seguinte forma:
Então, varia de 0 a 1 e varia de 0 a 2.

Passo 7

Montamos agora a integral transformada:
Portanto:

Passo 8

Vamos calcular a integral interna em :

Passo 9

Agora, integramos o resultado em :

Resposta

A integral vale .

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