(Extra) Seja A x=b dado por lx1+x2+x3=0 x1-x2-x3=0 2 x1+x2+x3=0.
(a) Calcule det(A).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um sistema de equações lineares representado por e pede para calcular o determinante da matriz . Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 2 & 1 & 1 a partir do sistema de equações dado:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. A fórmula é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
a & b & c d & e & f g & h & i

Passo 4

Aplicando isso à nossa matriz a = 1, b = 1, c = 1 d = 1, e = -1, f = -1 g = 2, h = 1, i = 1 :

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do determinante:
det(A) = 1[(-1)(1) - (-1)(1)] - 1[(1)(1) - (-1)(2)] + 1[(1)(1) - (-1)(2)]

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo:
1[(-1)(1) - (-1)(1)] = 1[-1 + 1] = 1[0] = 0
  1. Segundo termo:
-1[(1)(1) - (-1)(2)] = -1[1 + 2] = -1[3] = -3
  1. Terceiro termo:
1[(1)(1) - (-1)(2)] = 1[1 + 2] = 1[3] = 3

Passo 7

Agora, somamos esses resultados:
0 - 3 + 3 = 0

Resposta

O determinante da matriz é .

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