(2,0 pontos) Determine o(s) valor(es) de tais que o sistema de equações lineares
Tenha uma única solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de que fazem com que o sistema de equações lineares tenha uma única solução. Isso faz parte da matérias de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como eles influenciam a existência de uma única solução em sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sistema que temos. As equações são:
Aqui, temos três equações com três incógnitas: , e .
Passo 3
Como a segunda equação já nos dá , podemos usar essa informação para simplificar as outras duas equações. Vamos substituir por 3 nas demais equações.
Passo 4
Substituindo na primeira equação:
E na terceira equação:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essas duas equações:
Primeira equação:
Terceira equação:
Passo 6
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e em função de .
Passo 7
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar :
Passo 8
Agora, resolvemos para :
Perceba que o denominador não pode ser zero, pois isso faria com que fosse indefinido. Então, precisamos garantir que , ou seja, e .
Passo 9
Agora que temos , podemos encontrar usando a segunda equação:
Substituindo :
Passo 10
Para que o sistema tenha uma única solução, o denominador não deve ser zero, ou seja, e . Portanto, para todos os valores reais de exceto e , o sistema terá uma única solução.
Resposta
Os valores de que garantem uma única solução para o sistema são todos os números reais diferentes de 3 e -3. Ou seja, tais que e .