(2,0 pontos) Determine o(s) valor(es) de tais que o sistema de equações lineares
Tenha uma única solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de que fazem com que o sistema de equações lineares tenha uma única solução. Isso faz parte da matérias de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como eles influenciam a existência de uma única solução em sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sistema que temos. As equações são:
Aqui, temos três equações com três incógnitas: , e .

Passo 3

Como a segunda equação já nos dá , podemos usar essa informação para simplificar as outras duas equações. Vamos substituir por 3 nas demais equações.

Passo 4

Substituindo na primeira equação:
E na terceira equação:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essas duas equações:
Primeira equação:
Terceira equação:

Passo 6

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e em função de .

Passo 7

Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar :

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Perceba que o denominador não pode ser zero, pois isso faria com que fosse indefinido. Então, precisamos garantir que , ou seja, e .

Passo 9

Agora que temos , podemos encontrar usando a segunda equação:
Substituindo :

Passo 10

Para que o sistema tenha uma única solução, o denominador não deve ser zero, ou seja, e . Portanto, para todos os valores reais de exceto e , o sistema terá uma única solução.

Resposta

Os valores de que garantem uma única solução para o sistema são todos os números reais diferentes de 3 e -3. Ou seja, tais que e .

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