(2,0 pontos) Determine o(s) valor(es) de tais que o sistema de equações lineares
Tenha uma única solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de que fazem com que o sistema de equações lineares tenha uma única solução. Isso faz parte da matérias de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como eles influenciam a existência de uma única solução em sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sistema que temos. As equações são:
x - y + (m^2 - 7) z = m + 3 x = 3 x - y + 2 z = 6
Aqui, temos três equações com três incógnitas: , e .
Passo 3
Como a segunda equação já nos dá , podemos usar essa informação para simplificar as outras duas equações. Vamos substituir por 3 nas demais equações.
Passo 4
Substituindo 3 - y + (m^2 - 7) z = m + 3 na primeira equação:
3 - y + 2 z = 6
E na terceira equação:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essas duas equações:
Primeira equação:
- y + (m^2 - 7) z = m + 3 - 3 - y + (m^2 - 7) z = m
Terceira equação:
- y + 2 z = 6 - 3 - y + 2 z = 3
Passo 6
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
- y + (m^2 - 7) z = m - y + 2 z = 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar e em função de .
Passo 7
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar (- y + (m^2 - 7) z) - (- y + 2 z) = m - 3 (m^2 - 7) z - 2 z = m - 3 (m^2 - 9) z = m - 3 :
Passo 8
Agora, resolvemos para z = m - 3m^2 - 9 :
Perceba que o denominador não pode ser zero, pois isso faria com que fosse indefinido. Então, precisamos garantir que , ou seja, e .
Passo 9
Agora que temos - y + 2 z = 3 y = 2 z - 3 , podemos encontrar y = 2 ( m - 3m^2 - 9 ) - 3 y = 2(m - 3)m^2 - 9 - 3 usando a segunda equação:
Substituindo :
Passo 10
Para que o sistema tenha uma única solução, o denominador não deve ser zero, ou seja, e . Portanto, para todos os valores reais de exceto e , o sistema terá uma única solução.
Resposta
Os valores de que garantem uma única solução para o sistema são todos os números reais diferentes de 3 e -3. Ou seja, tais que e .