(Extra) Seja dado por .
© O que podemos dizer a respeito de posto e posto( ?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos um sistema de equações lineares representado por , onde:
O objetivo é determinar o posto da matriz e o posto da matriz aumentada . Vamos precisar entender o que é posto de uma matriz e como calcular isso.

Passo 2

Primeiro, vamos formar a matriz e a matriz aumentada .
A matriz é composta pelos coeficientes das variáveis nas equações:
Já a matriz aumentada inclui a coluna dos termos constantes, que neste caso são zeros:

Passo 3

Agora, vamos entender o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o maior número de linhas (ou colunas) linearmente independentes que ela possui. Isso nos dá informações sobre a solução do sistema.
Para encontrar o posto, podemos realizar operações de linhas para simplificar a matriz e ver quantas linhas não se anulam.

Passo 4

Vamos começar com a matriz :
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda:
Em seguida, subtraímos duas vezes a primeira linha da terceira linha:
Observamos que a terceira linha é a metade da segunda linha. Isso significa que a terceira linha não traz nova informação; ela é uma combinação linear das outras.

Passo 5

Como a terceira linha é dependente das outras, a matriz tem apenas duas linhas linearmente independentes. Portanto, o posto de é 2.
Agora, analisamos a matriz aumentada :
Ao realizar as mesmas operações de linhas, perceberemos que a coluna adicional de zeros não afeta a independência das linhas. Assim, o posto da matriz aumentada também é 2.

Resposta

O posto de e o posto da matriz aumentada são ambos iguais a 2.

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