(Extra) Usando o teorema do valor intermediário, prove que todo ponto do círculo unitário é da forma para algum (e portanto infinitos) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que todo ponto do círculo unitário pode ser escrito como para algum número real . Isso envolve o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que funções contínuas assumem todos os valores entre dois pontos. Aqui, vamos usar esse teorema junto com as propriedades das funções cosseno e seno para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o círculo unitário é o conjunto de todos os pontos no plano que satisfazem . Ou seja, são pontos a uma distância 1 da origem.

Passo 3

Sabemos que as funções e são contínuas em todos os números reais. A continuidade é importante porque usamos o Teorema do Valor Intermediário, que requer funções contínuas.

Passo 4

Agora, para qualquer ponto no círculo unitário, temos que e para algum . Como queremos provar que existe esse , vamos fixar um ângulo inicial, digamos , onde .

Passo 5

À medida que variamos de a , as funções e percorrem todos os valores possíveis no círculo unitário. Por ser contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, para qualquer valor entre e , existe um tal que , e similarmente para .

Passo 6

Isso significa que para qualquer ponto no círculo unitário, conseguimos encontrar um ângulo onde e . Como as funções são periódicas, esse não é único, mas pelo menos um valor existe.

Resposta

Portanto, todo ponto do círculo unitário pode ser representado como para algum , conforme o Teorema do Valor Intermediário.

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