(Extra) Usando o teorema do valor intermediário, prove que todo ponto do círculo unitário é da forma
para algum (e portanto infinitos)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que todo ponto do círculo unitário pode ser escrito como para algum número real
. Isso envolve o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que funções contínuas assumem todos os valores entre dois pontos. Aqui, vamos usar esse teorema junto com as propriedades das funções cosseno e seno para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o círculo unitário é o conjunto de todos os pontos
no plano que satisfazem
. Ou seja, são pontos a uma distância 1 da origem.
Passo 3
Sabemos que as funções
e são contínuas em todos os números reais. A continuidade é importante porque usamos o Teorema do Valor Intermediário, que requer funções contínuas.
Passo 4
Agora, para qualquer ponto
no círculo unitário, temos que
e para algum
. Como queremos provar que existe esse
, vamos fixar um ângulo inicial, digamos
, onde .
Passo 5
À medida que variamos
de
a
, as funções
e percorrem todos os valores possíveis no círculo unitário. Por ser contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, para qualquer valor
entre
e
, existe um
tal que
, e similarmente para .
Passo 6
Isso significa que para qualquer ponto
no círculo unitário, conseguimos encontrar um ângulo
onde
e . Como as funções são periódicas, esse
não é único, mas pelo menos um valor existe.
Resposta
Portanto, todo ponto do círculo unitário pode ser representado como para algum
, conforme o Teorema do Valor Intermediário.
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Prove as fórmulas para
e
usando as técnicas vistas em aula.