A extremidade esquerda de um longo bastão de vidro com diâmetro de 8,0 cm e índice de refração igual a 1,60 é uma superfície hemisférica convexa com raio de 4,0 cm. Um objeto em forma de seta com uma altura de 1,50 mm é colocado ortogonalmente ao eixo do bastão a uma distância de 24,0 cm à esquerda do vértice da superfície convexa. Determine a posição e a altura da imagem da seta formada pelos raios paraxiais que incidem sobre a superfície convexa. A imagem é direita ou invertida?

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos um bastão de vidro com uma superfície convexa hemisférica à esquerda, com raio de e índice de refração de . Uma seta com altura de está posicionada a à esquerda dessa superfície convexa, perpendicular ao eixo do bastão. Nosso objetivo é encontrar onde a imagem da seta será formada (posição) e qual será sua altura, além de determinar se a imagem é direita ou invertida. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de refração em superfícies esféricas e calcular o aumento da imagem.

Passo 2

Identificando os dados fornecidos:
  • Índice de refração do meio onde está o objeto ( ): Como a seta está no ar, .
  • Índice de refração do vidro ( ): .
  • Raio de curvatura da superfície convexa ( ): (positivo porque a superfície é convexa).
  • Distância do objeto à superfície ( ): .
  • Altura do objeto ( ): .

Passo 3

Aplicando a fórmula de refração em superfície esférica:
A fórmula para determinar a posição da imagem ( n2s' - n1s = n2 - n1R ) é:
Explicação da fórmula:
Essa equação relaciona a posição do objeto e da imagem em uma superfície esférica refratora, levando em conta os índices de refração dos meios e o raio de curvatura da superfície.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
1,60s' - 1,0024,0 = 1,60 - 1,004,0
Vamos resolver passo a passo:
  1. Calcular o lado direito da equação:
0,604,0 = 0,15
  1. Reorganizar a equação para encontrar 1,60s' = 1,0024,0 + 0,15 :
1,0024,0 approx 0,0417
  1. Calcular 0,0417 + 0,15 = 0,1917 :
s' = 1,600,1917 approx 8,35,cm
  1. Somar os dois valores:
  1. Agora, isolar :

Passo 5

Interpretando a posição da imagem:
Obtivemos . Como o valor de é positivo, isso indica que a imagem está localizada no mesmo lado que o meio refrator (vidro). Portanto, a imagem está à direita da superfície convexa, dentro do bastão de vidro.

Passo 6

Calculando a altura da imagem ( m = h'h = n2 s'n1 s ):
Usamos a fórmula do aumento linear ( m = 1,60 times 8,351,00 times 24,0 = 13,3624,0 approx 0,556 ):
h' = m times h = 0,556 times 1,50,mm approx 0,834,mm
Substituindo os valores:
Agora, calculamos :

Passo 7

Determinação da orientação da imagem:
Como o aumento ( ) é positivo e menor que 1, isso significa que a imagem é direita em relação ao objeto e está reduzida.

Resposta

A imagem da seta está localizada a aproximadamente à direita da superfície convexa, com uma altura de . A imagem é direita.

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