No instante
, a corrente num circuito
énulae cresce até a metade do seu valor tinal em
. (a) Qual a constante de tempo deste circuito? (b) Se a resistência do circuito for
, qual a auto-indutância?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um circuito RL, que é aquele que tem uma resistência ® e uma indutância (L). A corrente nesse tipo de circuito cresce com o tempo até alcançar um valor final. Precisamos descobrir dois pontos:
- A constante de tempo do circuito.
- A autoindutância quando a resistência é de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a corrente cresce no circuito RL. A fórmula que descreve a corrente
em função do tempo
é:
Aqui,
é o valor final da corrente,
é a base dos logaritmos naturais, e
é a constante de tempo do circuito, que é dada por:
Passo 3
No enunciado, sabemos que no instante
, a corrente chega à metade do valor final, ou seja:
Vamos substituir isso na equação da corrente:
Passo 4
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Agora, vamos isolar o termo exponencial:
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos usar o logaritmo natural (
) nos dois lados:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Passo 7
Com isso, já respondemos a parte (a) do exercício. Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos encontrar a autoindutância
sabendo que
.
Sabemos que:
Passo 8
Vamos isolar
:
Substituindo
que encontramos:
Resposta
(a) A constante de tempo do circuito é
.
(b) A autoindutância do circuito é
.