No instante t=0, a corrente num circuito L R énulae cresce até a metade do seu valor tinal em 4,0 s. (a) Qual a constante de tempo deste circuito? (b) Se a resistência do circuito for 5 Omega, qual a auto-indutância?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um circuito RL, que é aquele que tem uma resistência ® e uma indutância (L). A corrente nesse tipo de circuito cresce com o tempo até alcançar um valor final. Precisamos descobrir dois pontos:
  • A constante de tempo do circuito.
  • A autoindutância quando a resistência é de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a corrente cresce no circuito RL. A fórmula que descreve a corrente i(t) = Ifinal (1 - e^-ttau) em função do tempo tau = LR é:
Aqui, é o valor final da corrente, é a base dos logaritmos naturais, e é a constante de tempo do circuito, que é dada por:

Passo 3

No enunciado, sabemos que no instante i(4) = 12 Ifinal , a corrente chega à metade do valor final, ou seja:
12 Ifinal = Ifinal (1 - e^-4tau)
Vamos substituir isso na equação da corrente:

Passo 4

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 12 = 1 - e^-4tau :
e^-4tau = 1 - 12
Agora, vamos isolar o termo exponencial:
e^-4tau = 12

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos usar o logaritmo natural ( -4tau = ln(12) ) nos dois lados:
-4tau = -ln(2)
Sabemos que 4tau = ln(2) , então:

Passo 6

Agora, vamos resolver para tau = 4ln(2) :

Passo 7

Com isso, já respondemos a parte (a) do exercício. Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos encontrar a autoindutância tau = LR sabendo que .
Sabemos que:

Passo 8

Vamos isolar L = tau times R :
L = 4ln(2) times 5
Substituindo que encontramos:

Resposta

(a) A constante de tempo do circuito é .
(b) A autoindutância do circuito é .

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