A extremidade de uma haste de madeira cilíndrica é conectada a um pedaço de chumbo, de forma que ela flutue verticalmente na água. O comprimento da parte submersa é L=2,50 m. A haste é posta para oscilar verticalmente. Despreze o efeito amortecedor da água.
(a) Mostre que a oscilação é harmônica simples.
Resposta: 3,17 s.

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma haste de madeira cilíndrica conectada a um pedaço de chumbo que flutua verticalmente na água. A parte submersa da haste tem um comprimento de . Queremos mostrar que, quando a haste é posta para oscilar verticalmente, esse movimento é um movimento harmônico simples (MHS).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de equilíbrio de forças, flutuabilidade e as características de um movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças atuando na haste quando ela está em equilíbrio na água. A força de empuxo (devido à água) está equilibrando o peso total da haste e do chumbo. A força de empuxo é dada por:
Fempuxo = rhoágua cdot g cdot V á
onde:
  • P = (mhaste + mchumbo) cdot g á é a densidade da água,
  • Fempuxo = P é a aceleração da gravidade,
  • rhoágua cdot g cdot V = (mhaste + mchumbo) cdot g é o volume da parte submersa da haste.
O peso total é:
rhoágua cdot V = mhaste + mchumbo
No equilíbrio:
á
Simplificando :
á

Passo 3

Agora, vamos considerar o que acontece quando a haste é deslocada um pouco da posição de equilíbrio. Se a haste é puxada para baixo por uma pequena distância Fempuxo' = rhoágua cdot g cdot (V + A cdot x) , o volume submerso aumenta, aumentando a força de empuxo:
Frestauradora = Fempuxo' - P = rhoágua cdot g cdot A cdot x á
onde é a área da seção transversal da haste.
A força restauradora que atua para trazer a haste de volta ao equilíbrio é:
á
Essa força é proporcional ao deslocamento , o que é uma característica fundamental do movimento harmônico simples (MHS), onde e é a constante elástica.

Passo 4

Com essa relação, podemos identificar que o sistema se comporta como um MHS com a constante elástica:
k = rhoágua cdot g cdot A á
A massa efetiva do sistema é a massa total submersa:
m = mhaste + mchumbo = rhoágua cdot V á
A equação do período para um MHS é:
T = 2pi raizmk = 2pi raizrhoágua cdot Vrhoágua cdot g cdot A = 2pi raizVg cdot A áá
Como T = 2pi raizA cdot Lg cdot A = 2pi raizLg (volume da parte submersa), substituindo:

Resposta

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