A extremidade de uma haste de madeira cilíndrica é conectada a um pedaço de chumbo, de forma que ela flutue verticalmente na água. O comprimento da parte submersa é
. A haste é posta para oscilar verticalmente. Despreze o efeito amortecedor da água.
(a) Mostre que a oscilação é harmônica simples.
Resposta: 3,17 s.
(a) Mostre que a oscilação é harmônica simples.
Resposta: 3,17 s.
Passo 1
Vamos entender o problema: temos uma haste de madeira cilíndrica conectada a um pedaço de chumbo que flutua verticalmente na água. A parte submersa da haste tem um comprimento de
. Queremos mostrar que, quando a haste é posta para oscilar verticalmente, esse movimento é um movimento harmônico simples (MHS).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de equilíbrio de forças, flutuabilidade e as características de um movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as forças atuando na haste quando ela está em equilíbrio na água. A força de empuxo (devido à água) está equilibrando o peso total da haste e do chumbo. A força de empuxo é dada por:
onde:
-
é a densidade da água, -
é a aceleração da gravidade, -
é o volume da parte submersa da haste.
O peso total é:
No equilíbrio:
Simplificando
:
Passo 3
Agora, vamos considerar o que acontece quando a haste é deslocada um pouco da posição de equilíbrio. Se a haste é puxada para baixo por uma pequena distância
, o volume submerso aumenta, aumentando a força de empuxo:
onde
é a área da seção transversal da haste.
A força restauradora que atua para trazer a haste de volta ao equilíbrio é:
Essa força é proporcional ao deslocamento
, o que é uma característica fundamental do movimento harmônico simples (MHS), onde
e
é a constante elástica.
Passo 4
Com essa relação, podemos identificar que o sistema se comporta como um MHS com a constante elástica:
A massa efetiva do sistema é a massa total submersa:
A equação do período para um MHS é:
Como
(volume da parte submersa), substituindo: