Use a equação de Bernoulli e a equação de continuidade para calcular a velocidade de escoamento do fluido de densidade rho na entrada de um Medidor de Venturi, considerando, no lugar de tubos manométricos, um tubo em U (por onde o fluido pode entrar) ligando a parte mais larga de área transversal A à garganta de área transversal B. No tubo em U , mede-se a diferença de altura h referente a outro fluido de densidade d nele contido.
Resposta: v=B[2(d-rho) g h /(rho(A^2-B^2)]^1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para calcular a velocidade de escoamento de um fluido usando a Equação de Bernoulli e a Equação de Continuidade. Precisaremos entender como essas duas equações se aplicam em um medidor de Venturi com um tubo em U que mede a diferença de altura. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Equação de Continuidade. Ela nos diz que, para um fluido incompressível em escoamento estável, o produto da área da seção transversal ( A1 v1 = A2 v2 ) pela velocidade do fluido ( A vA = B vB ) permanece constante ao longo do tubo. Matemáticamente, isso é:
vA = BA vB
No nosso caso, temos duas áreas diferentes: (a parte mais larga) e (a garganta). Queremos relacionar as velocidades nessas duas áreas. Vamos chamar a velocidade na área e na área .
Aplicando a equação de continuidade:
Isso nos ajuda a expressar em termos de :

Passo 3

Agora, vamos usar a Equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos diferentes do fluxo. A equação é:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
No nosso medidor de Venturi, assumimos que a altura ( P1 + 12 rho vA^2 = P2 + 12 rho vB^2 ) nas duas partes do tubo principal é a mesma, então . Isso simplifica a equação, eliminando o termo de altura:

Passo 4

A diferença de pressão ( P1 - P2 = d g h ) é medida pelo tubo em U, que contém um fluido de densidade d g h + 12 rho vA^2 = 12 rho vB^2 e apresenta uma diferença de altura . A diferença de pressão causada nessa configuração é dada por:
Vamos substituir essa diferença na equação de Bernoulli:

Passo 5

Agora, vamos substituir d g h + 12 rho ( BA vB )^2 = 12 rho vB^2 pela expressão que encontramos na Equação de Continuidade:
d g h + 12 rho B^2A^2 vB^2 = 12 rho vB^2
Simplificando:
d g h = 12 rho vB^2 (1 - B^2A^2)
Vamos mover todos os termos com para um lado:

Passo 6

Isolando vB^2 = 2 d g hrho (1 - B^2A^2) para encontrar a velocidade na garganta:
vB^2 = 2 d g hrho (A^2 - B^2A^2) = 2 d g h A^2rho (A^2 - B^2)
Simplificando a fração no denominador:
vB = A raiz2 d g hrho (A^2 - B^2)
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

v = A [ 2 d g hrho (A^2 - B^2) ]^12

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