Proceda como no exercício anterior para calcular a área da região limitada pelas curvas dadas.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região limitada pelas curvas
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o conceito de área entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam e, depois, usar integrais para calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas funções. Isso significa resolver a equação
. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 3
Para eliminar o valor absoluto, consideramos duas possibilidades: quando
é positivo ou zero, e quando é negativo.
Caso 1:
(ou seja,
)
Então,
ou
. Como estamos no caso
, descartamos
. Portanto,
é uma solução.
Caso 2:
(ou seja,
)
Assim,
ou
. Como estamos no caso
, descartamos
. Portanto,
é uma solução.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção em
e
, vamos desenhar um esboço rápido das curvas para entender qual delas está acima da outra nesse intervalo. Observando as funções, percebemos que
está acima de
entre
e
.
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida:
Onde
e
.
Passo 6
Vamos calcular a diferença
:
Como
está entre 1 e 3,
pode ser simplificado:
Para
,
Para
,
Vamos integrar em duas partes:
- De 1 a 2:
- De 2 a 3:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada parte:
Calculando cada integral:
Para
:
Para
:
Passo 8
Vamos avaliar as integrais nos limites de integração:
Primeira integral de 1 a 2:
Segunda integral de 2 a 3:
Resposta
Somando as duas áreas obtidas:
Portanto, a área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.