Proceda como no exercício anterior para calcular a área da região limitada pelas curvas dadas.
f(x) = |x-2| + 1, g(x) = 3 - (x-2)^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região limitada pelas curvas e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o conceito de área entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam e, depois, usar integrais para calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas funções. Isso significa resolver a equação . Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 3

Para eliminar o valor absoluto, consideramos duas possibilidades: quando é positivo ou zero, e quando é negativo.
Caso 1: (ou seja, )
Então, ou . Como estamos no caso , descartamos . Portanto, é uma solução.
Caso 2: (ou seja, )
Assim, ou . Como estamos no caso , descartamos . Portanto, é uma solução.

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção em e , vamos desenhar um esboço rápido das curvas para entender qual delas está acima da outra nesse intervalo. Observando as funções, percebemos que está acima de entre e .

Passo 5

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida:
Á
Onde e .

Passo 6

Vamos calcular a diferença :
Como está entre 1 e 3, pode ser simplificado:
Para ,
Para ,
Vamos integrar em duas partes:
  1. De 1 a 2:
  1. De 2 a 3:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada parte:
Á
Calculando cada integral:
Para :
Para :

Passo 8

Vamos avaliar as integrais nos limites de integração:
Primeira integral de 1 a 2:
Segunda integral de 2 a 3:

Resposta

Somando as duas áreas obtidas:
Á
Portanto, a área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

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