f é derivável em x = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a função é derivável em . Isso significa que, nesse ponto, a função tem uma derivada, ou seja, a taxa de variação dela está definida ali. Para entender isso, vamos precisar saber o que é derivada e como ela funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função nesse ponto. Matematicamente, a derivada de em é definida por:
Isso significa que calculamos a variação de em torno de quando se aproxima de zero.

Passo 3

Como é derivável em , podemos usar a definição acima para encontrar . Isso requer que o limite exista. Se o limite existir, então a função tem uma derivada nesse ponto.

Passo 4

Sem uma expressão específica para , não podemos calcular o valor numérico de . Porém, sabemos que a existência da derivada implica que a função é contínua em e que não há “quebras” ou “cantos” na curva nesse ponto.

Resposta

Portanto, sabendo que é derivável em , concluímos que a derivada existe e representa a inclinação da reta tangente à função nesse ponto.

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