Prove que o conjunto W formado por todas as matrizes da forma [cca & b -b & a] é um subespaço de M2 times 2. Onde M2 times 2 é o espaço vetorial de matrizes 2 times 2 com as operações usuais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta pede para provar que o conjunto a & b -b & a , formado por todas as matrizes do tipo , é um subespaço do espaço vetorial . Isso está dentro de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos lembrar que um subespaço precisa satisfazer três condições: conter a matriz zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz zero está em 0 & 0 0 & 0 . A matriz zero em é . Podemos ver que isso corresponde a e na forma de . Então, a matriz zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se a & b -b & a é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes de c & d -d & c e somarmos, a soma também deve estar em a + c & b + d -b - d & a + c . Seja e , ambas em .
A soma . Vemos que a soma também tem a mesma estrutura, com e . Portanto, está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se a & b -b & a é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz de ka & kb -kb & ka por um número escalar a' & b' -b' & a' , o resultado também deve estar em .
Tomando e multiplicando por , temos . Isso também mantém a forma , onde e . Logo, está em .

Resposta

Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço de .

Exercícios relacionados

Mostre que o conjunto W de todos os polinômios da forma a+b x-b x^2+a x^3 é um subespaço de P3. Onde P3 é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.
Mostre que o conjunto W de todos os vetores da forma [ca b -b a] é um subespaço de R^4.
Seja F=f: R longrightarrow R: f uma função real de variável real o espaço vetorial com as operações f+g e c f, definidas por (f+g)(x)=f(x)+g(y) e(c f)(x)=c f(x). Seja S o conjunto de todas as funções que satisfazem a equação diferencial f^prime prime+f^prime+f=0 [Ou seja, S é o conjunto solução da equação (1).] Prove que S é um subespaço de F.
Em F, determine se sin (2 x) é gerado por sin (x) e cos (x).