Prove que o conjunto formado por todas as matrizes da forma é um subespaço de . Onde é o espaço vetorial de matrizes com as operações usuais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta pede para provar que o conjunto , formado por todas as matrizes do tipo , é um subespaço do espaço vetorial . Isso está dentro de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos lembrar que um subespaço precisa satisfazer três condições: conter a matriz zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz zero está em . A matriz zero em é . Podemos ver que isso corresponde a e na forma de . Então, a matriz zero está em .
Passo 3
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes de e somarmos, a soma também deve estar em . Seja e , ambas em .
A soma . Vemos que a soma também tem a mesma estrutura, com e . Portanto, está em .
Passo 4
Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz de por um número escalar , o resultado também deve estar em .
Tomando e multiplicando por , temos . Isso também mantém a forma , onde e . Logo, está em .
Resposta
Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço de .