Prove que o conjunto
formado por todas as matrizes da forma
é um subespaço de
. Onde
é o espaço vetorial de matrizes
com as operações usuais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta pede para provar que o conjunto
, formado por todas as matrizes do tipo
, é um subespaço do espaço vetorial
. Isso está dentro de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos lembrar que um subespaço precisa satisfazer três condições: conter a matriz zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz zero está em
. A matriz zero em
é
. Podemos ver que isso corresponde a
e
na forma de
. Então, a matriz zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes de
e somarmos, a soma também deve estar em
. Seja
e
, ambas em
.
A soma
. Vemos que a soma também tem a mesma estrutura, com
e
. Portanto,
está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz de
por um número escalar
, o resultado também deve estar em
.
Tomando
e multiplicando por
, temos
. Isso também mantém a forma
, onde
e
. Logo,
está em
.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.