O gás de um balão esférico escapa à razão de . Determinar a taxa de variação da superfície do balão, em relação ao tempo, em função do raio (variável) do balão.
(Dados: Volume da esfera: ; área da esfera: )
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um balão esférico que está perdendo gás a uma taxa de . Queremos descobrir como a área da superfície do balão está mudando com o tempo, ou seja, encontrar em função do raio do balão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas e as fórmulas da geometria da esfera.
Passo 2
Sabemos que o volume de uma esfera é dado por:
e a área da superfície é:
Como o volume está diminuindo com o tempo, temos .
Passo 3
Vamos primeiro relacionar a taxa de variação do volume com a taxa de variação do raio. Derivando a fórmula do volume em relação ao tempo:
Aqui, usamos a regra da derivada para funções compostas.
Passo 4
Sabemos que . Substituindo na equação anterior:
Agora, vamos resolver para :
Passo 5
Agora, queremos encontrar . Derivando a fórmula da área da superfície em relação ao tempo:
Aqui, aplicamos a regra da derivada novamente.
Passo 6
Substituindo que encontramos no Passo 4:
Simplificando a expressão:
Resposta
A taxa de variação da superfície do balão em relação ao tempo é: