O gás de um balão esférico escapa à razão de . Determinar a taxa de variação da superfície do balão, em relação ao tempo, em função do raio (variável) do balão.
(Dados: Volume da esfera: ; área da esfera: )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um balão esférico que está perdendo gás a uma taxa de . Queremos descobrir como a área da superfície do balão está mudando com o tempo, ou seja, encontrar em função do raio do balão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas e as fórmulas da geometria da esfera.

Passo 2

Sabemos que o volume de uma esfera é dado por:
e a área da superfície é:
Como o volume está diminuindo com o tempo, temos .

Passo 3

Vamos primeiro relacionar a taxa de variação do volume com a taxa de variação do raio. Derivando a fórmula do volume em relação ao tempo:
Aqui, usamos a regra da derivada para funções compostas.

Passo 4

Sabemos que . Substituindo na equação anterior:
Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Agora, queremos encontrar . Derivando a fórmula da área da superfície em relação ao tempo:
Aqui, aplicamos a regra da derivada novamente.

Passo 6

Substituindo que encontramos no Passo 4:
Simplificando a expressão:

Resposta

A taxa de variação da superfície do balão em relação ao tempo é:

Exercícios relacionados

Para todo , mostre que
Calcular nos seguintes casos:
(m)
Mostre que um conjunto é aberto se, e somente se,
Se é fechado e é aberto, mostre que é fechado.