Se
for um campo vetorial definido sobre todo
cujas funções componentes tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas e rot
,
será um
A. campo vetorial não conservativo
B. campo irrelevante
C. campo escalar
D. campo nulo
E. campo vetorial conservativo
A. campo vetorial não conservativo
B. campo irrelevante
C. campo escalar
D. campo nulo
E. campo vetorial conservativo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo vetorial
definido em todo
com certas condições nas suas derivadas. O conteúdo aqui envolve Cálculo Vetorial, especificamente conceitos como rotacional (rot) e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o rotacional ser zero e como isso se relaciona com campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, mede a tendência de um campo vetorial girar em torno de um ponto. Se
em toda parte, isso indica que o campo não tem “rodinha”, ou seja, é sem rotação.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre campos conservativos. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, existe uma função
tal que
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que seu rotacional é zero:
.
Passo 4
No problema, foi dado que
e que as funções componentes de
têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Pelo teorema de Poincaré, em um domínio simplesmente conexo como
, isso garante que
é conservativo. Ou seja, nosso campo vetorial
pode ser expressado como o gradiente de alguma função escalar.
Passo 5
Portanto, concluímos que, sob as condições fornecidas, o campo vetorial
é conservativo. Analisando as opções:
A. campo vetorial não conservativo
B. campo irrelevante
C. campo escalar
D. campo nulo
E. campo vetorial conservativo
B. campo irrelevante
C. campo escalar
D. campo nulo
E. campo vetorial conservativo
A resposta correta é a opção E.
Resposta
E. campo vetorial conservativo