Se F for um campo vetorial definido sobre todo R^3 cujas funções componentes tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas e rot F=0, F será um
A. campo vetorial não conservativo
B. campo irrelevante
C. campo escalar
D. campo nulo
E. campo vetorial conservativo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo vetorial definido em todo com certas condições nas suas derivadas. O conteúdo aqui envolve Cálculo Vetorial, especificamente conceitos como rotacional (rot) e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o rotacional ser zero e como isso se relaciona com campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por , mede a tendência de um campo vetorial girar em torno de um ponto. Se em toda parte, isso indica que o campo não tem “rodinha”, ou seja, é sem rotação.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre campos conservativos. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, existe uma função tal que . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que seu rotacional é zero: .

Passo 4

No problema, foi dado que e que as funções componentes de têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Pelo teorema de Poincaré, em um domínio simplesmente conexo como , isso garante que é conservativo. Ou seja, nosso campo vetorial pode ser expressado como o gradiente de alguma função escalar.

Passo 5

Portanto, concluímos que, sob as condições fornecidas, o campo vetorial é conservativo. Analisando as opções:
A. campo vetorial não conservativo
B. campo irrelevante
C. campo escalar
D. campo nulo
E. campo vetorial conservativo
A resposta correta é a opção E.

Resposta

E. campo vetorial conservativo

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