Se , então não existe.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está perguntando. Temos duas funções, e , e sabemos o que acontece com elas quando se aproxima de 5. Especificamente, e . O problema quer saber se o limite da divisão dessas duas funções, , existe ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de limites e o que acontece quando dividimos por um número que se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Isso significa que, conforme se aproxima de 5, os valores de ficam cada vez mais próximos de 2.
Em seguida, indica que, conforme se aproxima de 5, os valores de ficam cada vez mais próximos de 0.
Agora, queremos encontrar . Isso significa que estamos dividindo um número que está se aproximando de 2 por outro que está se aproximando de 0.

Passo 3

Dividir por zero é algo que precisamos analisar com cuidado. Quando temos uma fração onde o denominador se aproxima de zero, o comportamento da fração depende de como o denominador se aproxima de zero:
  • Se se aproxima de 0 por valores positivos, então tende ao .
  • Se se aproxima de 0 por valores negativos, então tende ao .
No entanto, para que o limite exista, ele precisa ter um único valor definido, seja um número real ou ou . Mas se dependendo de como se aproxima de 0, o limite pode tender para ou , isso significa que o limite não está se aproximando de um único valor específico.

Passo 4

Além disso, matematicamente, dizemos que uma expressão como é indefinida. Isso porque não podemos dividir por zero, e o comportamento da função não está bem definido neste caso.

Resposta

Portanto, não existe.

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Se for contínua em e e , então existe um número tal que e .
for contínua em , então é diferenciável em .
Se e não existem, então não existe.